矩陣力學推導氫原子能階公式

包立(Wolfgang Ernst Pauli)於1926用矩陣力學把氫原子譜推導出來

核心想法

1. 直接在矩陣力學架構下做代數運算：把物理量當成矩陣，靠對易關係與運動方程解決問題，，而不引入電子軌道的圖像。
2. 對庫侖中心力位能，引入經典開普勒問題的拉普拉斯–龍格–楞次向量（Runge–Lenz vector）U與角動量 B，把它們「量子化為矩陣」，用其對易與角動量守恆性來直接推導出能階公式。

步驟

1）矩陣力學的對易關係與運動方程

2）直角座標與向量運算子

3）守恆向量算符的定義

角動量向量運算子：

拉普拉斯–龍格–楞次向量運算子：

對庫侖位能

表示它們是守恆的。其實在經典力學對庫侖位能下，龍格–楞次向量U與角動量 B，兩者都是守恆量。包立把它們把它們「量子化為矩陣」（守恆 ⇒ 對角或封閉對易代數），並推得只含

U,B 與能量 𝐸的矩陣關係，把坐標（也就是躍遷機率）完全消去。

(位置運算子 的矩陣元對應態與態之間的空間躍遷機率幅，如波動力學的波函數的空間分佈可以算出躍遷矩陣元，矩陣力學則可以避開解一大堆含位置的矩陣元素方程。)

4）同時對角化與量子數引入

Hamiltonian

5）封閉代數與能階公式

U 與 B 的對易關係組成封閉代數（等價於 O(4) 對稱）

這正是氫原子的巴耳末公式。

包立用矩陣力學、純代數方式、基於守恆量和對稱性，精確推導出氫原子能級公式，證明新力學的正確性，並揭示了庫侖問題的 SO(4) 對稱結構。