統計熱力學

熱力學是一門宏觀唯象理論。從熱力學理論得到的結論,與物質的具體微觀結構無關。單憑熱力學定律,無法導出系統的具體物性。例如,若問「理想氣體的比熱是多少?」熱力學只能告訴我們比熱與溫度有關、與壓強無關,卻無法給出具體數值。再問「為什麼氯氣(Cl₂)與二氧化氮(NO₂)氣體的比熱不同?」熱力學仍無從回答。但若有人說:「因為氯氣由 Cl₂ 分子構成,而二氧化氮由 NO₂ 分子構成。」——這正是微觀角度的威力:氣體由無數分子組成,分子種類與性質不同,自然導致宏觀性質的差異。熱力學直接在宏觀層次描述普適性質,而統計熱力學則從微觀出發,去理解與解釋這些現象。

其次,熱力學描述的是系統的平均性質,或稱(粒子數/體積)熱力學極限下的性質。它無法解釋有限系統中出現的性質漲落。例如,由極少數分子組成的系統,「溫度」該如何定義?隨著現代實驗技術(尤其是單分子實驗)的發展,這些漲落現象已能在實驗室中觀察並精確測量,自然需要理論加以解釋與分析。統計熱力學正是從微觀出發,不僅能刻畫系統的平均性質,也能描述有限系統的漲落行為。

從微觀視角理解系統性質,並非統計熱力學獨有,而是已深深滲透至現代化學的各個分支。當我們談到氫氣燃燒時,理解便不再僅止於「兩種無色無味的低密度透明氣體在另一種無色無味的透明氣體中燃燒並生成無色無味的液體」的唯象描述,而是以化學反應式表示:

從更廣的範圍來看,許多科學與工程領域均採用這種微觀視角,將其作為基本研究模式的不可或缺根基。著名科學家費曼(Richard Phillips Feynman)曾提出一個具科幻色彩的問題:

「如果在一場大災變中,所有的科學知識都被毀滅,只有一句話可以傳給下一代的智者,你會選哪一句?」

不同的人或許會給出不同的答案;費曼自己的答案是:原子論。也就是說,一切事物皆由極其微小的原子顆粒構成,原子不停運動,彼此靠近時互相吸引,過於靠近時又會排斥。只要應用這一句話,並結合你的想像力與思考,就能從微觀出發,解讀世界的豐富資訊。這,便是微觀視角的真正威力!

何謂統計熱力學?

系統通常由大量微觀粒子組成。在宏觀層次,只需少數幾個參數(如溫度、壓強、密度等)即可確定系統的狀態(即熱力學狀態);在實驗中,能測量的物理量數目亦相對有限,遠少於組成系統的粒子總數。而在微觀層次,原則上可對系統中所有粒子的微觀力學變量——即其位置與速度——進行完整描述,此即「微觀狀態」。

牛頓力學為例,每個粒子有三個位置分量 (x,y,z) 與三個速度分量 (𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧 ),故由 N 個粒子組成的系統,需 6N 個變量才能確定其微觀狀態。即使是一個宏觀上看來很小的容器,也可能含有 𝑁∼10^20  級以上的粒子,其微觀自由度遠超宏觀自由度。

系統的宏觀性質源於粒子的微觀運動。從微觀角度考察大量粒子集合運動的影響,便可得到系統的宏觀行為。例如,宏觀氣體的壓強,從微觀而言就是氣體分子連續撞擊容器壁所產生的平均力。若粒子數目極大,每一時刻都會有海量撞擊,於是給出近似恆定的壓強;反之,若粒子數目不多,撞擊數量便會有明顯波動,觀測到壓強的漲落。

統計熱力學研究的正是這種從微觀到宏觀的聯繫,她可定義為:

從粒子的微觀性質出發,依據粒子所遵循的力學定律,以統計方法計算大量粒子運動的平均結果,從而導出平衡系統的各種宏觀性質。

這一定義中有兩大關鍵:

力學定律(微觀):統計熱力學的出發點。若粒子遵循牛頓力學,則展開經典統計(如麥克斯韋–玻爾茲曼分布);若遵循量子力學,則導出量子統計(如玻色–愛因斯坦分布、費米–狄拉克分布)。

統計方法:從微觀力學法則出發,推求系統最終性質(如狀態方程)所用的有效技術(詳見第二章),亦是「統計熱力學」中「統計」二字的來源。

簡而言之,統計熱力學為傳統熱力學提供了堅實的微觀基礎,並擴展了其適用範圍。若要一句振奮人心的話語來概括,可寫為:

「給我一個微觀作用,予你一個宏觀世界!」