在經典物理中，一個物體的狀態由確切的物理量（如位置與動量）決定，而一個系統的總體性質也可以由這些量的統計平均給出。然而，量子力學揭示了自然界根本性的隨機性：即便我們擁有全部可知的資訊，也無法預測個別實驗的結果，只能給出其機率。因此，描述量子系統狀態的語言與方法，與經典物理有著本質上的不同。在傳統的量子力學課程中，我們往往ket ∣ψ⟩來描述一個封閉系統的量子態。這種表述方式稱為「純態」，其數學結構簡單且直觀。然而，當我們考慮到更實際的情況──如系統與環境的交互、觀測者只能存取系統的一部分資訊、或實驗資料來自大量樣本的統計平均──單一的純態表述便無法勝任，這時就必須使用「密度運算子」（density operator）來進行更一般性的描述。
事實上，密度運算子是一種統一性的語言，無論是純態還是混合態，皆可用密度運算子來描述。換句話說，密度算符不僅是一種擴展方法，更是涵蓋整個量子態空間的普遍工具。它能精確處理純態的完全知識，也能靈活描述混合態所代表的統計不確定性。
密度算符的定義與數學形式
密度運算子是定義在希爾伯特空間上的自伴（self-adjoint ，Hermitian）、非負定（positive semi-definite）且跡(trace)為 1 的運算子，用以統一描述純態與混合態。
對於一個純態∣ψ⟩ ，其對應的密度算符為：
這個密度運算子滿足
這是判別一個狀態是否為純態的標準條件。
更一般地，若系統處於混合態，即處於若干個純態∣ψi⟩ 的隨機組合中，每個純態出現的機率為 pi，則其密度算符為：
密度運算子的物理意義
1. 描述統計不確定性的工具
密度算符的首要功能，是提供一種統計性描述。它不僅表達了系統內在的量子機率特性，也反映了觀測者對該系統的知識限制。在許多實驗或理論情境中，我們無法掌握系統的完整量子態，或無法避免與環境的交互作用，此時單一波函數的描述方式便不再適用，密度算符則能自然地處理這種不完全性。
2. 可觀測量期望值的計算公式
量子系統的測量結果往往以期望值表示，而密度算符正提供了一種統一的方式來計算任意可觀察量 𝐴的期望值。
這一公式的重要性在於：即使在無法確定系統處於哪個純態的情況下，我們仍然可以通過密度算符精確計算觀測結果的平均值，得到可觀察量。這對於熱力學系綜、量子資訊理論與量子測量理論尤為重要。
註:⟨A⟩=⟨ψ|A|ψ⟩ (以之處於某一純態)
⟨A⟩=Tr(ρA) (純態、 混合態) 實際上在處理系統，在有"溫度"下，都是混合態!
3. 子系統的部分跡與糾纏的表徵
當一個複合量子系統（例如 A 與 B）處於純態，但我們只觀察子系統 A 時，其狀態不再是純態，而是混合態。我們必須對總體密度運算子 ρAB 執行「對 B 作部分跡(Partial Trace)」：
這樣可以得到子系統 A 的密度運算子。這個操作揭示了一個關鍵觀念：即便整體系統處於純態，只觀測其一部分時所得狀態仍可能是混合態。這是量子糾纏導致經驗不確定性的具體表現，反映了量子力學與古典統計力學之間深刻的差異。
4. 區分純態與混合態的物理標準
我們可以透過一個簡單但具有深層物理意涵的公式，來量化一個狀態的「純度」：
這個數值即為「純度指標」，它可視為一種測量量子資訊遺失程度的指標。
隨著量子資訊科學、量子熱力學、量子計算與量子開放系統理論的快速發展，密度運算子的概念與應用已成為理解現代量子物理不可或缺的核心知識。無論是純粹的數學分析，還是實際的物理應用，密度運算子都是貫穿全域、連結觀測與理論的關鍵橋樑。
對純態而言:
對混合態而言:
這個數值即為「純度指標」，它可視為一種測量量子資訊遺失程度的指標。
最重要的一點是：密度運算子不僅僅是混合態的描述工具，她同樣能完美表達純態。因此，我們可以說：
密度算符是量子力學中最具統一性與普遍性的狀態描述方式。
這種一致性使得我們在理論推導與數值模擬中，可以使用統一的數學形式處理所有量子態，無需區分其是否為純態。在量子資訊科學、量子測量理論與開放系統動力學中，這一點更是不可或缺的基礎。
密度運算子的提出，代表量子力學描述能力的重大擴展。她不僅僅是數學上的技術工具，更是揭示了量子世界深層結構與我們知識極限的物理語言。從純態到混合態，從封閉系統到開放系統，從單粒子系統到多體糾纏系統，密度算符構成了量子論最具彈性與統一性的理論基礎。
