『寫下這些符號者是神靈，它們用神秘而隱密的力量，揭示了我周圍的自然力，使我的心田充滿無聲的喜悅。』
法拉第與馬克士威
—— Boltzmann 引證哥德（浮士德）以讚美 Maxwell ——
場（field）¹作為一個重要的物理觀念最早是由英國物理學家法拉第（M. Faraday, 1791-1867）所提出的，經過馬克士威（James Clerk Maxwell, 1831-1879）到現在通過無數次的實驗驗證後，提煉出來的一個整體的想法。
人們對場的認識，是從研究自然界早已存在的作用力開始的。例如：古希臘人早就知道某些如毛皮或玻璃等物體互相摩擦可以吸引或排斥別的物體，這種現象以琥珀最為明顯。因此琥珀的希臘字「elektron」是今天和電有關的「electron」及「electricity」兩字的來源。
1831 年之後，法拉第首先利用空間也就是場（field）的概念來解釋某些物理現象，並提出可以具體化地描述場的力線觀念來說明磁場。他還認為萬有引力與磁力、電力一樣可以用力線來描繪。
『……磁作用需要時間，即當一個磁體作用於另一個遠處的磁鐵或一塊鐵時，產生作用的原因（我以為可以稱之為磁）是逐漸的從磁體傳播開的；這種傳播需要一定的時間，而這個時間顯然是非常之短的。我認為，電磁感應也是這樣傳播的。我認為，磁力從磁極出發，類似於波紋的水振動或空氣粒子的聲振動，也就是說，我打算把振動理論應用於磁現象，就像對聲音所作的那樣，而且這也是光現象最可能的解釋。相比之下，我認為也可以把振動理論運用於電磁感應……』
—— 法拉第（M. Faraday, 1791-1867）——
雖然法拉第的直覺是正確，但是利用場的方程式來描述電場和磁場的交互作用之數學方程式，則必須靠別的科學家來完成，這個人是蘇格蘭的馬克士威。1865 年左右，馬克士威綜合電磁現象的安培定律及法拉第定律，建立他的電磁場的數學理論，他提出了變化的磁場激發電場的概念之後，發現還缺少某些重要的東西。假如對這些方程式進行了數學變換，那麼就得出一種與電磁學方程組體系的其它公式矛盾的關係。假如這個方程式藉著一個附加項，即所謂的位移電流來補充，那麼這個矛盾就可以克服。所以他提出位移電流來克服電磁學方程組之矛盾，而且整理成完整的電磁場理論，因此馬克士威就從法拉第的解釋者，成為獨創的學者。馬克士威方程式具有不可思議的威力，按照這理論他預言：變化的電場和變化的磁場相互激發，會形成變化的電磁場在空間傳播（即電磁波）並由這理論推導出真空中電磁波的速度與真空中的光速相等。大約 30 年之後，1887 年赫茲（Heinrich Rudolph Hertz, 1857-1894）以實驗證實馬克士威所預測的電磁波。赫茲的實驗證明了那些馬克士威從自己的公式中，用數學方式推導出來的，以光速傳播的電磁波並不是虛構的，而是物理學的事實。電磁波並不是虛構，而是真實的。更且他還證明電磁波可以被反射及折射，可以被干涉及偏振。簡言之，電磁波具有光的全部基本特徵。所以，光的電磁本性就獲得證明，唯一的差別只是波長。馬克士威方程包含了完整的電學、磁學和光學的理論，這是馬克士威對物理學所作的一項偉大的統一，將電、磁、光三者合而為一。電與磁被法拉第，Oersted 和安培的實驗所統一。但到了馬克士威手中，光不再是別的東西，而是電與磁的另一形式，在空中獨自的傳播。馬克士威方程包含了完整的電學、磁學和光學的理論：對一個由任何運動電荷所產生場的完整描述等等。這是馬克士威的創舉，它可能是所有物理學成就中最大的一樁。
『從理論上發現電磁波能以光速傳播，是科學史上最偉大的成就之一。』
也難怪赫茲要讚嘆：
『這些方程式擁有獨立的生命，以及自己的智慧；這些方程式比我們聰明，甚至比較發現者聰明；我們從它們那裡得到的，比我們原先放進去的更多。』
—— 赫茲 ——
馬克士威於 1864 年發表的電磁場理論與牛頓的運動方程式同樣是出自人類思想的最高結晶。牛頓力學是質點的物理學，相對地馬克士威的電磁學是場（field）的物理學，牛頓力學是以遠距離作用力的設想為依據，而馬克士威的電動力學理論則是以場作用或近距離作用的設想為依據。1915 年愛因斯坦（1879-1955）發表的廣義相對論便是以馬克士威的場的觀念來解釋力學。因此對於電磁學理論而言，自然的語言是向量分析（Vector analysis），或更一般的張量分析（Tensor Analysis）這是一門研究場（field）的學問。
『The magic of this theory will hardly fail to impose itself on anybody who has truly understood it; it represents a genuine triumph of the method of absolute differential calculus, founded by Gauss, Riemann, Christoffel, Ricci and Levi-Civita.』
—— Albert Einstein（1879-1955）——
場是自牛頓以來，最重要的洞見。將場從必須有一個機械載體與之相關聯的假設中解放出來，這在物理學思想發展史中，在心理上是最令人感到興趣的事件。用來描述物理現象最重要的不是帶電體、粒子，而是帶電體之間粒子與粒子之間的場，這需要極大的科學想像力才能理解。法拉第與馬克士威之關係在科學史上被媲美為伽利略與牛頓之關係。法拉第並不用數學來瞭解所有現象，馬克士威正好相反，他是用數學來理解所有的事。一位是具有洞察力的偉大實驗家，不只預知電場與磁場的存在，更讓我們「看到」它們的存在；另一位則是偉大的理論家，他統一了電場與磁場，也讓我們更理解光。
『在馬克士威以前，人們認為作為自然過程的表徵，可以看成是質點組成，其變化完全由那些服從常微分方程的運動所組成。在馬克士威以後，則認為物理的實在是由連續的場來代表，它滿足偏微分方程，不能對它作機械論的解釋。』
—— 愛因斯坦（1879-1955）——
馬克士威的妖精
在「統計力學」這個名稱正式誕生以前，馬克士威其實已經做出了統計力學最關鍵的思想準備。換句話說，在 Gibbs 於 1902 年以《Elementary Principles in Statistical Mechanics》把這門學問命名並形式化之前，馬克士威 已經先把問題的核心指出來了：如果物質是由大量分子構成，那麼熱、溫度、壓力、黏滯、熱傳導與第二定律，都不應只被看成巨觀經驗定律，而應該被理解為大量微觀粒子運動的統計結果——這是統計力學真正的起點。
在十九世紀中葉，熱力學已經相當成熟。Carnot、Clausius、Kelvin 等人建立了熱機、功、熱量、熵與第二定律的巨觀理論。這些理論極其成功，但它們基本上不追問「物質內部到底發生了什麼」。熱力學可以告訴我們熱會從高溫流向低溫、孤立系統熵會增加、氣體膨脹可以作功；可是它並不直接說明：為什麼一團氣體會有溫度？壓力究竟從何而來？熵增加在分子層次上代表什麼？第二定律是否像牛頓定律那樣是絕對、不可違反的？
馬克士威的重要性就在這裡。他把問題從「熱力學定律是什麼」推進到「熱力學定律為什麼成立」。他不滿足於只把溫度、壓力、熱量視為巨觀變數，而是嘗試把它們還原為大量分子的運動。氣體的壓力，不再只是容器壁受到的巨觀推力，而是無數分子撞擊容器壁的平均效果；溫度，也不再只是溫度計讀數，而是分子平均動能的表現。這種想法今天看起來很自然，但在當時是非常深刻的轉變。
更關鍵的是，馬克士威發現：一旦我們承認氣體由大量分子構成，就不可能再用「追蹤每一個分子軌跡」的方式來處理問題。單一分子的運動可以遵守牛頓力學，但氣體中有天文數字般多的分子，它們不斷碰撞、交換能量、改變方向。即使在古典力學框架下，原則上每個分子的運動都由力學方程決定，實際上我們也無法知道所有粒子的初始位置與速度，更無法逐一追蹤它們。因此，馬克士威 採取了一個全新的策略：不問每一個分子此刻到底在哪裡、速度是多少，而是問大量分子的速度如何分布——這一步，就是統計力學的靈魂。
馬克士威 對氣體分子速度分布的研究，等於把機率論引入物理學的核心。對他而言，氣體中的分子並不是全部具有同一速度，而是有快有慢；某些分子速度很高，某些分子速度很低，大多數分子則集中在某個典型速度附近。溫度固定時，這些速度不是任意分布，而是服從一個特定的分布規律。這就是後來所謂的 馬克士威分布，更廣義地與 的工作結合後，成為 Maxwell–Boltzmann 分布。
這個分布的意義非常重大。它告訴我們，巨觀平衡並不是「每個分子都一樣」，而是「整體分布穩定」。在平衡狀態下，單一分子仍然不斷碰撞、改變速度；微觀世界仍然充滿運動。但從大量分子的統計分布來看，整體性質卻是穩定的。這正是統計力學的核心圖像：巨觀平衡不是微觀靜止，而是微觀混亂運動在統計上的穩定。
馬克士威對統計力學的另一個巨大貢獻，是他對熱力學第二定律的重新理解。第二定律說，熱不會自發地從冷物體流向熱物體；孤立系統的熵不會自發減少。在傳統熱力學中，這看起來像一條絕對定律，彷彿和牛頓運動定律一樣嚴格。然而 馬克士威注意到，如果微觀分子的運動本身是力學的，而力學定律在時間反演下通常是可逆的，那麼為什麼巨觀世界會出現不可逆的熵增加？
這就是馬克士威的妖精的深層意義。
馬克士威想像一個容器被隔成 A、B 兩邊，中間有一個小孔。一個極其靈敏的「妖」可以觀察每個分子的速度，並控制小孔的開關。如果它只讓快分子往一邊通過、慢分子往另一邊通過，那麼原本溫度均勻的氣體就可以被分成一邊較熱、一邊較冷。這看起來等於在沒有作功的情況下製造溫差，似乎違反第二定律。
可是 馬克士威的目的不是單純幻想一個違反自然定律的小怪物。相反地，他是要指出：第二定律並不是微觀力學意義下的絕對命令，而是對大量分子而言幾乎必然成立的統計規律。也就是說，第二定律的「不可違反」不是來自單一分子層次的力學禁止，而是來自大量自由度的機率壓倒性。
這一點非常關鍵。若只有少數幾個分子，短時間內出現「反常」行為並非不可能；例如能量偶然集中到某一邊，或某些分子偶然排列成較有序狀態。但若分子數是 Avogadro 數量級，偏離最可能狀態的機率就小到幾乎不可觀測。於是第二定律不是「邏輯上絕不可能被違反」，而是「在巨觀系統中幾乎必然成立」。這種「幾乎必然」，就是統計力學對熱力學第二定律的真正解釋。
因此，馬克士威的貢獻可以說有兩條主線。
第一條主線是分子速度分布。他把氣體看成大量分子的集合，並用機率分布描述分子速度。這使得壓力、溫度、平均能量、最可能速率、平均速率等巨觀量，可以從分子運動的統計性質推出來。這是從微觀運動通往巨觀熱力學的橋。
第二條主線是第二定律的統計詮釋。透過馬克士威的妖精 ，他指出第二定律的地位不同於純粹力學定律。它不是每一條微觀軌跡都必須遵守的絕對法則，而是大量粒子系統在絕大多數情況下呈現的統計趨勢。這一點直接打開了後來 Boltzmann 的道路，使 Boltzmann 能夠以微觀狀態數、機率與熵的關係來重新理解不可逆性。
從這個角度看，馬克士威 是統計力學尚未被稱為統計力學之前的奠基者。他還沒有使用 Gibbs 後來那套完整的 ensemble 語言，也還沒有把統計力學整理成嚴密的公理化形式；但是他已經掌握了這門學問最深的精神：巨觀定律不是脫離微觀世界而存在，而是大量微觀自由度經過統計平均後浮現出來的規律。
Gibbs 後來做的事情，是把這個思想進一步抽象化、普遍化。他不只處理氣體分子速度，而是考慮一大群可能的系統狀態，建立 ensemble 的概念，並把統計方法發展成一套一般性的力學框架。於是「統計力學」這個名稱正式出現，並且不再只是氣體動力論的延伸，而成為連結力學、熱力學、化學平衡、相變與量子系統的普遍理論。
所以，若要精簡地說 馬克士威 的歷史地位，可以說：
在 Gibbs 命名統計力學之前，馬克士威 已經給出了統計力學的兩個核心觀念：第一，巨觀熱性質來自分子運動的機率分布；第二，熱力學第二定律的必然性其實是統計性的，而不是單一微觀軌跡層次的絕對必然性。
也因此，馬克士威的妖精並不只是一個有趣的思想實驗。它是統計力學誕生前夜最深刻的問題意識：如果世界在微觀上服從力學，在巨觀上卻表現出熱力學不可逆性，那麼兩者之間必定需要一座橋。而這座橋，就是統計。
