密度運算子

1927 年，約翰・馮‧諾依曼（John von Neumann）在研究「多粒子系統的熱平衡」時，引入以表示的密度運算子（他當時稱為 Operator U），用以統一描述「純態統計集合」與「混合態統計集合」的量子機率分布。這是密度矩陣（density matrix）形式主義的濫觴。

幾乎同時，蘇聯物理學家列夫・朗道（Lev Landau）獨立提出密度矩陣觀念，動機則來自子系統（sub-system）無法再以單一波函數刻畫的困境；他後來更在 1946 年將此方法推廣至自旋動力學與耗散問題。

馮‧諾依曼於 1932 年出版的專著《Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik》系統化了以上想法，標誌著量子統計力學與量子測量理論的數學基石正式奠立。

對一組態向量與其機率權重 ，密度運算子定義:

並且具有三個基本性質:

將薛丁格方程對機率集合加權平均，可得封閉系統的時間演化：

此即 Liouville–von Neumann 方程。在開放系統情境，需加入表示耗散或去相干(decoherence)的Superoperator （Lindblad、Redfield 等形式）：

方程同時保存與 Hermitian 性，確保機率守恆與可觀測量實值性。