『路德維希．波爾茲曼生於1844年。他的貢獻是逐漸揭示了大塊物質的性質（這些性質是由開爾芬和克勞修斯的熱力學引伸出來的）與物質的個別粒子，即原子的行為之間的聯繫。開爾芬、克勞修斯及其同時代人培育了由卡諾播下的種子，並由之建立起一座巨大的聯繫各種觀察現象的知識庫。然而，要真正理解這些關係，只有對粒子及其性質作出機械學解釋時才能達到。
在一九○六年，波爾茲曼死的時候，各種思想正在傳播，技術在推廣使用，這些現象勝過了對他的批評，使他作為最偉大的理論物理學家之一而樹立起威望。量子理論的出現以及對原子結構的實驗研究和詳細描述，給微觀世界帶來一幅現實圖景，儘管它與我們熟悉的事物大相徑庭，卻是必須接受且實質上是不可辯駁的。到了這時，沒有人能嚴格否認原子的存在，儘管他們顯示出的行為方式乍看起來（還有點）奇怪。現在我們的技術已經能顯示單個原子和原子結合的分子圖像。波爾茲曼觀點的基礎已經是勿庸置疑的，儘管微觀世界遠比他所能預見的要奇異得多。』
路德維希・波茲曼生於 1844 年。他的貢獻，在於建立物質的宏觀性質——當時這些性質正透過克耳文與克勞修斯的熱力學逐步確立——與構成物質的個別粒子，也就是原子的行為之間的聯繫。克耳文、克勞修斯及其同時代的學者，培育了卡諾所播下的種子，因而建立起一座龐大的知識寶庫，其中包含各種觀察結果彼此之間的關係。然而，只有在以粒子及其性質為基礎的機制性解釋建立之後，人們才能真正理解這些關係。
1906 年波茲曼去世時，新的思想已在學界醞釀，新的實驗技術也逐漸出現；這些發展後來說服了他的批評者，並確立了他作為最偉大的理論物理學家之一的聲望。量子理論的興起，加上對原子結構的實驗探索與詳細描繪，使微觀世界取得了一種真實性。儘管這個世界與我們所熟悉的事物格格不入，它卻具有令人無法迴避的說服力，而且在本質上已難以否認。到了這個階段，再也沒有人能夠有理據地否認原子的存在，儘管原子的行為方式乍看之下——而且直到今天對某些人而言仍然——顯得十分奇怪。如今，我們已有技術能夠呈現單個原子的影像（見下圖），以及原子串聯形成分子的影像（見右圖）。波茲曼觀點的根本基礎，已經獲得超越合理懷疑的確立，儘管微觀世界甚至比他所能想像的還要奇異得多。
Though short-sighted, he saw further into the workings of the world than most of his contemporaries.
原文是在稱讚波茲曼，結果中譯本卻把它翻成「目光短淺」，硬生生變成先批評他沒遠見，再說他看得比別人深入。難怪以前讀到這裡時，只覺得整句邏輯非常奇怪。現在對照原文，終於真相大白了。無言到有點好笑 XD
想起，之前去成大物理系新系館時，牆上的物理學發展時間軸中，至少在我注意到的先賢肖像裡，似乎只有波茲曼和薛丁格戴著眼鏡。而兩人的共同點，正好都是曾經深入研究統計熱力學：波茲曼奠定古典統計力學的重要基礎，薛丁格則在量子力學時代繼續思考統計熱力學。
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更進一步說，彼此之間還存在某種學術傳承：
薛丁格在維也納大學受到 Fritz Hasenöhrl 很深的影響，而 Hasenöhrl 正是波茲曼的後繼者；薛丁格早期的理論研究涵蓋氣體動力論、統計力學、固體比熱與熱力學等問題，且一直對波茲曼的機率理論很有興趣。
真正的轉折約在 1924–1925 年。薛丁格接觸德布羅意的物質波思想，又從愛因斯坦對量子氣體與 Bose 統計的研究中，看見粒子與波之間的關係；1925 年底他還在研究愛因斯坦的氣體理論，接著於 1926 年提出波動力學與薛丁格方程。換句話說，他通往量子力學的道路，某種程度上正是從統計力學與量子氣體問題延伸出去的。
後來仍持續關心統計熱力學，並在都柏林講授、出版 Statistical Thermodynamics，也從統計熱力學出發思考「
生命是什麼」。
Keith J. Laidler 的寫的《物理化學的世界》中文版 由國立編譯館出版，關於波茲曼的內容
- 波茲曼（Ludwig Boltzmann, 1844-1906）簡傳
波茲曼出生於維也納，曾在維也納大學求學，他的老師有史蒂芬（Josef Stefan, 1835-1893）和羅舒米特（Josef Loschmidt, 1821-1895）。1867年獲博士學位，1869年就任格拉茲（Graz）大學的理論物理學教授。波茲曼有些不快樂和不滿足的性格，在他的事業中曾遷移了多次。1873年他成為維也納大學的數學教授，1876年又回到格拉茲大學任實驗物理學教授——有些不適當，因他的工作完全是理論的。從1889至1893年他是慕尼黑（Munich）大學理論物理學教授。1894年他又回到維也納大學任理論物理學教授，因在那裡不快樂，就於1900年接受奧斯特瓦德的邀請到萊比錫去任教。但不久他決定還是喜歡維也納，便於1902年接受自己的遺缺任理論物理學教授。在維也納，他也代替馬赫（Ernst Mach）教科學哲學，後者因健康的理由退休。因馬赫不相信原子的真實性，強力反對波茲曼的整套方法，故這次代替使維也納大學的科學哲學的教學起了顯著的變化。
波茲曼早期在第二定律的工作已於5.3節中提及，他在能量分佈及分子統計學上的偉大貢獻也在5.3節中敘述。在1866年當他還是學生的時候就曾嘗試站在力學的基礎上去解釋第二定律。
但二年後讀了馬克斯威的論文，就知道這個方法不對而必須用統計學的處理。在1868年發表的一篇重要論文中，他曾擴展了馬克斯威對於分子速度分佈的處理，指出一個系統在能量為 E 的狀態中的機率與 exp(−E/kBT) 成比例，其中 kB我們現在稱之為波茲曼常數。在他的數學步驟中有幾分預料到量子論，將能量當作由小包組成，在演繹結束時他將這小包的大小看作零。
在1872年的一篇重要論文中，波茲曼發展了系統趨向平衡的理論及在氣體中的運送過程。他的趨向平衡的理論後來稱為波茲曼H原理。在以後的論文中他曾處理稱為「可逆性和返歸的迷惑」（reversibility and recurrence paradoxes）以及「各態遍歷的假說」（ergodic hypothesis）（5.3節）。在1871年的一篇重要論文中，波茲曼曾說明如何可從他的分佈函數來計算一個系統中的所有熱力學性質，這篇論文的發表被認為是一門科學的誕生，這門科學被後來的吉布茲命名為「統計力學」。1877年他曾導出有名的熵和機率之間的關係（5.26式）。
現在我們記得波茲曼主要是由於他在熱力學及統計力學上的論文，但他在這二方面的論文大約只佔他全部著作的一半。他在數學、物理學、化學及哲學等廣大範圍的科題上也曾作了重要的貢獻，他對馬克斯威的電磁理論特別有興趣。
雖然波茲曼和奧斯特瓦德的私人友誼不錯，但他們的科學哲學完全不同，奧斯特瓦德的觀點和馬赫的相似，他認為波茲曼基於運動理論的統計處理毫無價值，甚至做為假說也不能，故在他的有影響力的書中不加支持。波茲曼發覺他被他的歐陸同事們完全拋棄了，他的主要支持來自英格蘭。這種感覺使他更加沮喪，
曾企圖自殺數次未果，但最後於1906年在意大利的港（Trieste）附近的杜伊諾（Duino）渡假時終於自殺了。
第二定律的統計基礎
今日我們認為「熱力學的第二定律有統計學的基礎」是當然的事，因為我們所關心的往往是許多分子，故可以應用它。我們會想這是明顯的結論，但最初克勞修斯和波茲曼二人則以為可用古典力學來解釋第二定律。以後克勞修斯繼續保持他的意見，但波茲曼則在研究了馬克斯威解決問題的方法後很快的知道需要統計的處理，然後他從這個觀點對第二定律作了極重要的貢獻。
科學的觀點往往以正式的科學論文表達出來，但馬克斯威的提議卻是個例外，它是以幻想的超自然人物的形式而出現，後來被稱為「馬克斯威的魔鬼」。這個魔鬼是1867年12月11日在馬克斯威寫給戴特的信中誕生的。馬戴二人是老朋友，他們曾在同一學校唸書，在愛丁堡大學和在劍橋。在整個的成年生活中他們進行著活躍和有趣的通信。因他們都是節儉的蘇格蘭人，故有時候用明信片來通信；明信片只需半便士的郵票而信則需要一便士。戴特曾寫了一本書熱力學概要（A Sketch of Thermodynamics），於1868年出版。在付印前他曾將手稿請馬克斯威閱讀和批評。戴特有一種習性（見4.3節），他曾作了許多不正確的歷史上歸屬，將功勞給予大英（更喜歡蘇格蘭）的科學家。馬克斯威在回信中說他未曾查過歷史，不願批評戴特的優先權主張。我們認為他或許在懷疑而不願加入爭論。馬克斯威又說他準備要做的是「正在到處更改觀點以求明晰表達或另加註述，及到處吹毛求疵以保證立論的堅強和穩固」。他所找出的最重要缺點是關於第二定律的意義，證明如何能在原則上違背它。
馬克斯威曾考慮了一個容器，用隔板將它隔成 A 和 B 二間。隔板上有一小孔，可用一片「無質量的滑蓋」來開啟或關閉。在 A 中的氣體溫度比在 B 中的高。從他在速度分佈的研究中，馬克斯威知道二方面的氣體都包含速度不同的分子。馬克斯威寫道「現在讓我們來想像一個有一定形狀的生物，他只用簡單的觀察就能看出所有分子運動的途徑和速度，他不必做別的工作，只需推動無重量的滑蓋來開啟或關閉隔板上的小孔。當他看到 A 間中的一個分子，它的速度小於 B 間中所有分子的『均方根速度』（各個分子速度平方的平均數的平方根）衝過來時就推開滑蓋讓它進入 B 間，然後立刻關閉。當他看到 B 間中的一個速度大於 A 間中所有分子的『均方根速度』的分子衝過來時，再推開滑蓋讓它進入 A 間，又立刻關閉，如此的工作繼續進行，使在 A 和 B 二間中的分子數保持一樣。馬克斯威說，這樣處理的結果是『在 A 間中的能量增加而在 B 間中則減少；也就是說，熱的系統變得更熱，冷的更冷。我們並未做什麼工作，只用了一位觀察力很敏銳、手指靈巧的生物的智慧而已』」。使我們感覺有趣的是馬克斯威關於僱用「一個觀察力很敏銳的……生物」的解釋預兆了近代的信息論（information theory）。後來馬克斯威曾強調他的意向是「說明熱力學第二定律只有統計學上的準確性」。1870年12月在寫給史特魯特〔J. W. Strutt，以後稱為芮里勳爵（Lord Rayleigh）〕的信中馬克斯威曾說：
熱力學第二定律的真實性和這句話一樣，「如你將一大杯水倒入海中，則無法再撈得同樣的一杯水」
馬克斯威用守門者來推翻第二定律的想法很快被別人採用。戴特首先稱它為魔鬼，後來還玩笑性的給它「臂和腿——給足兩隻手和十個手指」。「魔鬼」這個字在當時的古典意義是指一種生物，也許是介乎人與神之間的一位天使。我們現在將魔鬼當作是一種壞的鬼，但馬克斯威未曾說他所建議的魔鬼是壞的。
馬克斯威自己在熱力學上未曾發表過重要的論文。我們對於他在此科目上的觀念主要得自他和戴特及和別人的通信，在劍橋的講演及在他的熱的理論一書中。此書的初版於1871年刊出，那一年也是馬克斯威有些勉強的就任劍橋的卡文狄胥紀念教授的年份。出版商將此書列為「適於工藝技術者及公立和科學學校學生的科學教科書」系列之一。馬克斯威在書中解釋了最近一些人士對於熱力學所作的貢獻，包括吉布茲的處理；我們想知道許多這些有意的讀者們對於馬克斯威所作的這些解釋了解到了什麼？在此書的各版本中馬克斯威曾以第二定律的統計基礎來解釋他的觀點；他曾明確的表示，有些方法雖然合乎力學定律但仍是不可能的，正如第二定律的限制所表示的。
有趣的是早期對於第二定律所作的討論從未曾提及將氣體在恆溫下混合的過程，而目前則往往將這種過程作為此定律的應用的好例子。馬克斯威的魔鬼能將此過程逆轉，例如他只讓氧分子向一個方向通過，氮分子向另一方向通過，則就能將空氣分離成氧和氮。早期的研究者以為第二定律只與熱量從高溫處傳到低溫處有關，等溫的混合過程顯然與熱量的轉移無關，故不受第二定律所支配。直至波茲曼（Ludwig Boltzmann, 1844-1906）將熵的增加與機率的增加相結合後，人們才知道混合也由第二定律所支配。
馬克斯威從第二定律的統計性質所得的結論與克勞修斯的意見及與波茲曼的早期工作是顯著相矛盾的。奧地利的物理學家波茲曼，當他還是維也納大學的學生時就開始對運動理論作了重要貢獻。他在這方面的興趣是被他的二位老師史蒂芬（Josef Stefan, 1835-1893）及羅舒米特（Johann Josef Loschmidt, 1821-1895）以及後來馬克斯威的出版物所啟發的。波茲曼最早一篇有些意義的論文題為「關於熱力學第二定律的力學意義」寫於1866年，那時他只有22歲，得博士學位的前一年。一開始他就說：人們已經知道第二定律很久了，對於一個22歲的年輕人來說大約15年的時間看起來可算長久了。後來他說：第二定律只能用「迂迴和不肯定的方法」來證實，而他的目的則是給予熱力學第二定律一個「純粹分析的和完全一般性的證明，以及在力學上去發現與它相應的原理」。他自己很快知道做這樣的嘗試決不會滿意。
克勞修斯也曾作了許多努力去解釋第二定律是力學原理的必需結果。1862年他提出了一個稱之為「分散度」（disgregation）的觀念，它的意義是一個物體中的分子的分散程度。1870年及1871年他都曾發表了論文，在文中他曾聲稱已提供了第二定律的力學解釋。他的第二篇論文的題目是「將熱力學第二定律化為一般的力學原理」（Über die Zurückführung des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie auf allgemeine mechanische Prinzipien）。波茲曼在格拉茲（Graz）大學看到了這篇論文後立刻寫了一篇論文，指出他的1866年的論文主要包含克勞修斯的同樣處理。他用了有幾分譏刺的批評作為結論：
以克勞修斯那樣有聲望的權威人士來幫助傳播我在熱力學工作中所得的知識，我只能表示快慰。
克勞修斯在1872年的論文中瀟灑的承認了波茲曼的優先權，他解釋說，那時候由於從蘇黎世（Zurich）遷至符茲堡（Wurzburg），再遷至波恩（Bonn），時間很匆迫，未能跟從科學的文獻。但不管怎樣，這些嘗試都不滿意，正如馬克斯威和別人所指出的，包括波茲曼自己在內。馬克斯威曾特別指出克勞修斯的「分散度」的觀念是沒有實驗或理論上意義的。
在這些力學的理論發表後，馬克斯威曾帶些開玩笑性的寫信給戴特，表示他高興的注意著，知道克勞修斯和波茲曼（他稱他們為「這些有學問的德國人」）已誤會了主旨。例如在1873年12月1日給戴特的信中，馬克斯威曾寫道：
看到這些有學問的德國人為了「發現Ⓗ△CS（熱力學）的第二定律是韓密爾頓（Hamilton）原理」的優先權而鬥爭是難得看見的好戲。
這封信的具名是
這是馬克斯威和戴特二人之間的私人玩笑，戴特曾寫了一個方程式，
來代表熱力學的第二定律，JCM是馬克斯威全名字的第一個字母的組合，t 是溫度並非時間。這個頗巧妙而刻意造作的玩笑的詳細解釋，讀者們如有興趣，可參看克萊恩（Martin J. Klein）的文章「馬克斯威，他的魔鬼及熱力學第二定律」（American Scientist, 58, 48-97, 1970）。馬克斯威從未直接攻擊克勞修斯和波茲曼，但在熱的理論一書中曾清楚的表明了他的立場。
我們不易了解克勞修斯不接受馬克斯威對於第二定律的統計解釋的理由。但以後波茲曼的態度則顯不相同。在他用純粹力學的基礎來解釋第二定律的嘗試失敗後二年的1868年，他發表了一篇很重要的論文「關於動能在物質點系統中平均分佈的研究」（Studien über desGleichgewicht der lebendigten Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten），其中他擴展了馬克斯威的理論，並處理了能量的分佈。在1866年的論文中他未曾提及馬克斯威的工作，但他那時正在學英文，特別以研究馬克斯威對電磁理論的論文為目標。當他寫1868年的論文時，他已熟識馬克斯威的速度分佈理論。他將它擴展，考慮了系統中的一個粒子是在位能 V 的情形。採用了馬克斯威的方法，他導出速度在 u 和 u+du 之間的分子數 f(u) 為
其中的常數
與絕對溫度有關，將理論上的壓力與從實驗的氣體定律所得的壓力相比較，可求得
為
，其中的
是「波茲曼常數」，它是氣體常數
除以亞佛加厥羅常數，即是每個分子的氣體常數。故方程式（5.23）可寫成
其中 等於動能 加位能 ，是系統的總能量。這個一般性的結果現在稱為「波茲曼分佈」，是統計力學這門科目的基礎。
在同一篇1868年的論文中，波茲曼用另一種方法演繹了馬克斯威的分佈。他曾作了假定：總能量在分子間的分佈情形是「所有各種能量的結合方式都是同樣可能的」。完全為了數學上的方便，他將能量看作由許多極小包的能量所組成，然後應用組合分析（combinational analysis）的方法來計算，最後得到一個方程式。如將極小包的能量
縮為無窮小，則這個方程式就簡化為馬克斯威的速度分佈方程式。這個方法很有趣，因它預測了普朗克（Max Planck）的量子論。根據此理論，能量真的以小包的或小分量的方式存在。事實上普朗克在發展量子論時曾用了許多波茲曼的數學步驟（10.1節）。
波茲曼所處理的另一個重要問題是系統趨向平衡狀態的方法；在此問題上的主要貢獻曾於1872年發表。趨向平衡會從二個不同的觀點來考慮：依照凱爾文的方法考慮「能的消散」或如克勞修斯的方法考慮「熵的增加」。波茲曼在這篇論文中的重要貢獻是詳細的證明了熵的增加相當於增加分子的紊亂。他在處理此問題時曾引進了一個函數，現在用符號 H 來代表，它涉及馬克斯威的分佈函數。波茲曼曾指出：H 一定會隨時間的增加而減少，除非它有馬克斯威的形式，在此情形下它已達到最低值而能保持恆定。函數 H 的重要性是它擴展了熵的定義，將「不包括在熱力學定義內的非平衡狀態」也包括進去。此原理在初始時稱為「波茲曼的最小原理」，但現在則往往稱為「波茲曼的 H 原理」。
不久以後波茲曼處理了另一個所謂「可逆性的迷惑」（reversibility paradox）的問題，此問題曾由凱爾文在1874年的一篇論文中提出來。凱爾文曾堅持說：波茲曼 H 原理的基本前提之一是「個別的碰撞是可逆的」，而在一個最初並非平衡的系統趨向平衡時該原理預測是不可逆的，這二者之間有矛盾。凱爾文爭辯說：如我們考慮一個系統趨向平衡的途徑，我們可想像所有動作都可逆轉，則反應應以相等的機率向反方向進行而遠離平衡了。波茲曼在1877年的一篇論文中回答道：在一個系統中有非常多可能的平衡狀態，而在這些平衡狀態中只有極少的一部分會使系統離開平衡。他承認我們可揀選要離開平衡的狀態，這些狀態的 H 增加而熵減少，但這樣的情況很不會發生，有更多的平衡狀態不會離開平衡。
一個相連的問題稱為「返歸的迷惑」（recurrence paradox）。此問題最早於1890年由一位法國的物理學家和哲學家普萬卡瑞（Jules Henri Poincaré, 1854-1912）從一條力學原理中提出來。根據這條原理，任何系統最後必會達到一種為它所特定的組態。普萬卡瑞及後來的德國數學家和物理學家蔡爾美洛（Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871-1953）（波茲曼往往稱他為「那個無賴」）曾爭辯說：因在平衡狀態的系統能轉移到任何別種狀態，故 H 原理不能常有效。波茲曼對這個挑戰曾在1896年發表的論文中回答，內容與可逆性迷惑的回答相似。從分子的尺度來看，平衡狀態由大量的可能組態所組成，原則上如我們能等待足夠長的時間則又一個特別揀選的狀態可以重現，但我們必須等待無限長的時間。因此雖然 H 原理在原則上可被破壞，但這種破壞很不會發生。
雖然波茲曼曾對運動理論作了重大貢獻，但他變得越來越沮喪，部分是由於十九世紀末人們對於原子真實存在的強力攻擊的結果。這些攻擊，特別是由馬赫及奧斯特瓦德所作的，攻擊到波茲曼畢生工作的根基了。他能幹的保衛原子理論所受的批評，但他的苦惱變得更劇烈使他數度自殺未果。最後於1906年他和妻女一同到意大利去度假，當她們外出游泳時，他在旅館房間的窗櫺上自縊而亡。這真是一件悲慘的諷刺性事情，他死後不久裴林（Jean Perrin）就得到原子真實存在的證據，這些證據甚至說服了奧斯特瓦德（9.1節）；裴林的工作會受了波茲曼本身在分子運動統計上所作貢獻的重大影響。
5.4 統計力學
「統計力學」這個名詞最早由吉布茲（Willard Gibbs）用在他的書名中，該書稱為專為熱力學理性基礎而寫的統計力學初步原理（Elementary Principles in Statistical Mechanics Developed With Special Reference to the Rational Foundations of Thermodynamics），於1902年出版。然而統計力學的誕生可合理的定為1871年，因在這一年波茲曼發表了一篇很重要的論文，「從動能分佈原理而得的熱力學第二定律的分析證明」（Analytische Beweis des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie aus den Sätzen über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft），其中他曾指出如何可用他的分佈函數來計算一個系統中所有的熱力學性質。這是統計力學主要關心的問題。波茲曼在1871年的論文中所用的方法主要就是目前通常所用的。波茲曼曾於1877年發表了另外二篇論文，處理了相似的事物。在其中的一篇中他寫出了有名的熵 S 與機率 W 之間的關係：
此方程式刻在維也納波茲曼的墓碑上，其中 W 為相當於系統中一個給定狀態的可能分子組態數。我們現在稱這些分子組態為「微狀態」（Microstates），它是在相的空間中有一定形狀的小室。用此方程式可從統計的分佈中獲得熵，也可由此式計算別的熱力學性質。
波茲曼的處理是基於一個假定：相當於同一總能量的所有微狀態都有同樣的假定機率。為了支持此假定，波茲曼和馬克斯威引進了以後所稱的「各態遍歷假說」（ergodic hypothesis）。根據此假說，系統以相等的機率進入所有狀態。波茲曼和馬克斯威的這個假說的精確意義是什麼，會引起很大的混淆。後來的作者們用此假說的意義往往與原來的意向不同。布魯希（S. G. Brush）曾於1967年寫了一篇論文，詳細的討論了此事。各態遍歷假說曾引起很大爭論，至1911年達到高潮。那一年艾倫費斯特（Paul Ehrenfest, 1880-1933）和他的妻子泰姬娜（Tatyana, 1876-1964）共同發表了一篇論文，他們曾爭辯說各態遍歷的系統也許不存在，但他們讓一步說：能非常接近的進入每個可能狀態的「準各態遍歷系統」（quasi-ergodic system）或許可找到。無論如何，目前已少有很關心「各態遍歷假說」的物理學家，這個假說已成為純粹數學中活躍的一支。
用統計力學的方法對於在平衡中系統的更近處理，並不完全依照波茲曼的原來方法，而是應用一個稱為「狀態總和」（Zustandsumme）的函數。此函數最早曾由普朗克（Max Planck）應用，更常用但不太正確的名稱是「分配函數」（partition function）。
分配函數的觀念可立刻從波茲曼的分佈定律得出。根據分佈定律，能量有 Ei的分子數 ni與 exp(−Ei/kBT) 成比例，其中 kB為波茲曼常數：
如我們考慮總體的分子，則其分配函數用 來表示。如我們能求得一個用體積及溫度來表示 的公式，則可計算所有熱力學的性質。
吉布茲曾在他1902年的統計力學書中作了重要的改良，引進了「統計總體」（statistical ensemble）的觀念。一個總體中有許多系統。吉布茲引進此觀念是為了要說明基本原理。後來的工作者曾利用「總體」於計算技術中。
用「總體」的好處是可將個別原子的能量當作自變數，考慮從零到無窮大一個範圍的能量，進行統計平均的方法。一個系統有能量 的機率與 成比例。吉布茲曾將所有系統的蒐集稱為「正則總體」（canonical ensemble）。所有相同能量的系統的蒐集稱為「微正則總體」（microcanonical ensemble）。吉布茲曾指出從一個適當選擇的微正則總體中求得的熱力學性質與從一個正則總體中所求得的相同。
吉布茲所引進的另一個重要觀念是「巨正則總體」（grand canonical ensemble），在這個總體中的粒子數目及能量都可以變化。因它可計算系統中每種成分的化學勢，故這個觀念在處理數種物質之間的化學平衡特別有用。
對於早期的統計力學作了最重要貢獻的自然是波茲曼及吉布茲，但我們也應提起一些如今大部分已被遺忘的愛因斯坦的工作。1902年當他還只有23歲時所發表的第三篇論文是關於熱力學的統計基礎。以後他又發表了許多相似問題的論文。他曾對波茲曼的 H 原理及各態遍歷假說很有興趣。美國的物理學家托爾曼（Richard ChaseTolman, 1881-1948）也曾在統計力學中作了重要的發展，他於1938年出版的書統計力學原理是一本經典的著作，曾產生了廣大的影響。英國的物理學家福勒（Ralph Howard Fowler, 1889-1944）所著的統計力學及福勒和英國的物理化學家古根漢（Edward Armand Guggenheim, 1901-1970）合著的統計熱力學中都敘述了統計力學的許多應用。
托爾曼曾討論了一件重要的事「平衡中的微觀可逆性原理」（principle of microscopic reversibility at eqilibrium）。他對此原理的敘述如下：
在平衡的系統中，平均來說，任何分子的反應及其逆反應都以相等的速率進行。
福勒曾在他的書中提出一條與此相關的原理稱為「平衡中的詳細均衡原理」（Principle of detailed balance at eqilibrium），此原理可敘述如下：
在平衡的系統中，每次碰撞都有它在逆方向的對應角色。因此在平衡時每個化學反應的速率恰巧等於逆反應的速率。
這些原理在處理化學反應時有很大的價值，但如我們將它們應用在非平衡的系統中則會產生嚴重的誤差。
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最後提一下，這三本擺一起剛好形成一套很漂亮的熱力學—統計力學—凝態物理三部曲。
第一本以「她」（HER：Heat Engine Ruler）將熱機女體化，從巨觀熱機出發，描述熱能轉換如何受到熱力學第二定律與熵增原理的限制；其主線屬於現象論熱力學，不以微觀粒子的統計圖像作為出發點。
第二本引入「波茲曼的精靈」，將熵增轉化為微觀統計圖像：巨觀系統之所以自然趨向平衡，是因為高熵巨觀態所對應的微觀狀態數遠比低熵態龐大。
第三本則宣告凝態物理就是物理學的魔法。熱力學是凝態物理的重要歷史前身，而當統計力學加入量子力學後，便進入量子多體、相變與湧現的領域；此時統計物理與凝態物理高度交疊、界線模糊，構成真正的「物質魔法」。
延續
另外屬於真實性的鋼彈~
以元祖為例
至於精神感應系統
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前橋駒形神社近日舉行祇園祭。祭典期間一度受到雨雲接近影響，神社方面考量天候狀況，原先宣布將浦安舞奉納時間調整為上午10時30分左右開始；然而表演預定時段仍恰逢降雨，使奉納儀式面臨臨時考驗。
