伊佐須美神社七夕祈願祭・乞巧奠（きっこうてん）

伊佐須美神社

會津美里町的伊佐須美神社於 8 月 7 日舉行了例行活動，為寫在短冊上的願望祈禱，希望人們的心願都能實現。

在伊佐須美神社舉行的是七夕祈願祭・乞巧奠（きっこうてん）。

這項活動重現了平安時代曾在宮中與貴族之間舉行的七夕儀式，並奉納稚兒舞、巫女舞等舞蹈，祈願人們的心願得以實現。

此外，受到熊本地震影響，祭典中也一併為災區的復興祈福。

前來參拜的人表示：「因為發生了熊本地震，所以希望熊本的人們能夠早日恢復安心生活的日子。」

參拜者們沉浸在黃昏神社境內所展開的優雅舞姿之中。



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Keith J. Laidler《物理化學的世界》薛丁格簡傳與海森堡的故事


物理化學(Physical Chemistry)

Keith J. Laidler《物理化學的世界》（The World of Physical Chemistry）

厄文・薛丁格（Erwin Schrödinger, 1887–1961）的簡傳

薛丁格出生於維也納，他早年的教育有很大一部分由父親親自教授；他的父親是一位興趣廣泛的商人。1898 年起，他就讀於維也納的 Akademisches Gymnasium；1906 年進入維也納大學。

他原本希望能師從波茲曼（Boltzmann），但波茲曼就在那一年自殺身亡。此後，薛丁格受到波茲曼的繼任者弗里德里希・哈森諾爾（Friedrich Hasenöhrl, 1874–1915）的深刻影響。哈森諾爾是一位才華出眾的教師，可惜他的學術生涯因第一次世界大戰中陣亡而戛然而止。

1910 年，薛丁格以一篇研究絕緣體表面導電現象的論文取得哲學博士學位。

第一次世界大戰期間，薛丁格曾任砲兵軍官。戰後，他於 1921 年成為斯圖加特大學副教授；翌年受聘為蘇黎世大學理論物理學教授。

起初，他主要研究與熱的統計理論有關的問題。1925 年，他得知路易・德布羅意（Louis de Broglie）關於電子波動性的思想後，便開始了他最重要的工作——波動力學（見第 10.2 節）。1926 年，他一連發表了六篇關於這一主題的論文。翌年，他接替馬克斯・普朗克（Max Planck），出任柏林大學理論物理學教授。

由於反對納粹政權，他於 1933 年離開德國，並在牛津停留了一段時間。F. A. 林德曼（F. A. Lindemann）為他以及數位猶太物理學家安排了臨時職位。薛丁格當選為牛津大學莫德林學院（Magdalen College）的院士，不久後便得知自己將與狄拉克（Dirac）共同獲得 1933 年諾貝爾獎。

1936 年，他成為格拉茨大學教授；然而，由於早先離開柏林而受到納粹當局不滿，他於 1938 年遭到解職。翌年，他出任都柏林高等研究院（Institute for Advanced Studies）院長。1945 年辭去院長職務，但仍保留教授職位。1956 年，他返回維也納大學。

雖然薛丁格在科學上作出了極其重要的貢獻，但他高度情緒化的性格往往會影響他的判斷。這有時導致相當古怪的個人行為。據說，他之所以辭去都柏林高等研究院院長職務，竟是因為對自己辦公室的清掃方式發生爭執。

他的穿著往往不拘常規，因此有好幾次甚至難以獲准進入科學會議，或進入自己任教大學的課堂。

他的情愛生活同樣不同尋常，而且 Walter Moore 那本出色的傳記對此已有相當詳盡的記載。他外貌並不起眼，又戴著厚重的眼鏡，實在很難讓人聯想到大眾想像中的 Lothario 或 Casanova 式風流人物；但他確實就是如此。

1920 年，他與 Annemarie Berthel 結婚。雖然兩人的關係中充滿不少風波，他們仍一直維持婚姻直到薛丁格去世。薛丁格與妻子沒有子女，但至少與其他女性育有三名非婚生女兒；若非曾有墮胎的情況，孩子還會更多。他一直渴望有一個兒子，但始終未能如願。

一直到六十多歲以前，他幾乎持續捲入各種情愛關係，有時甚至同時與數名女性交往。這些關係都是公開進行的，而且他的妻子也知情；事實上，她有時甚至會協助安排。看來他似乎從未成功讓兩名情婦同時懷孕，但這並不是因為他沒有嘗試過。

1925 年底，薛丁格正是在其中一次情愛冒險期間開始建立他的波動力學。當時他與一名情婦一起住在某個度假勝地，而妻子則留在蘇黎世。或許那段時間裡被「構想出來」（conceived）的，並不只有理論。那位女性的身分至今未被確認，但看來她至少值得獲得一項「最佳女配角諾貝爾獎提名」。

薛丁格在牛津期間，曾設法促使林德曼聘用一名德國同事。後來林德曼才憤怒地發現，薛丁格這麼做的動機，是為了能與那名同事的妻子發展情愛關係。

後來，這名女子以及她與薛丁格所生的女兒，也成為都柏林一個 ménage-à-trois（三人共同生活關係）的一部分。薛丁格明確表示，這名女子應當與他的妻子受到同等對待。那名孩子實際上更多是由薛丁格的妻子、而不是她的生母撫養；兩名女性則共同分擔家務。

薛丁格六十歲出頭時，開始受到過度沉溺於煙草、酒精以及情愛生活所帶來的影響。此後數年間，他的健康狀況與體力一直不佳。當他在 73 歲去世時，死亡證書並未記載某種特定疾病，而只是指出心臟與動脈的一般性老化；用通俗的說法來講，他死於過早衰老（premature old age）。

雖然薛丁格多年來與羅馬天主教會的實際聯繫，大致只限於參加朋友的婚禮與葬禮、未採取避孕措施，以及擔任教皇宗座科學院（Pontifical Academy of Sciences）的會員，但他最後仍被安葬於提洛（Tirol）阿爾卑巴赫（Alpbach）的一座天主教墓園中。

參考文獻： A. Hermann, DSB, 12, 217–223 (1975)；Heitler (1961)；Moore (1989)。

維也納物理學術傳承:

Boltzmann→Hasenöhrl→Schrödinger

Laidler 在簡傳裡明確說薛丁格早期主要研究「與熱的統計理論有關的問題」，然後才在 1925 年受到 de Broglie 的影響走向波動力學。

statistical theory of heat→de Broglie matter waves→Schrödinger wave mechanics

後半段就是Laidler 的八卦科學史///

1925 年底，薛丁格正是在其中一次情愛冒險期間開始建立他的波動力學。 當時他與一名情婦一起住在某個度假勝地，而妻子則留在蘇黎世。 或許那段時間裡被「構想出來」（conceived）的，並不只有理論。 那位女性的身分至今未被確認，但看來她至少值得獲得一項 「最佳女配角諾貝爾獎提名」。

—— Keith J. Laidler， The World of Physical Chemistry

這裡 Laidler 故意玩 conceived 的雙關——既可以指「理論被構想／孕育」，也可以指「懷孕」(既是「理論被構思出來」，又暗示「受孕」。)最後再補一句她值得 Best Supporting Actress 的諾貝爾獎提名。

Laidler 自己其實已經快把她寫成「波動力學誕生故事中的神祕女主角」了。 若以薛丁格喜愛的印度哲學，可說那名女性就是The शक्ति(Śakti) of Wave Mechanics。

此外也補充Keith J. Laidler《物理化學的世界》（The World of Physical Chemistry）關於海森堡的故事:

量子力學

第一篇勾勒出一種新力學的論文出自 Max Born（馬克斯・波恩），題名為 Zur Quantenmechanik（〈論量子力學〉）；該文發表於 1924 年，而這也是 quantum mechanics（量子力學）這個名稱第一次被使用。

到了 1925 年，尤其是下半年，這個領域突然爆發出極為活躍的研究活動，其中最主要的人物包括 Born、Heisenberg、Dirac 和 Schrödinger。Heisenberg 的論文在當年 7 月完成，它啟發了幾個月後出現的 Dirac 與 Schrödinger 的論文。

最終，這些不同的方法雖然在表面形式上有所不同，卻被證明在數學上是彼此等價的。化學家通常比較偏好 Schrödinger 的處理方式，因為它能提供最強的物理直觀，而且也最適合用於複雜系統的計算。

Born 與 Heisenberg 的矩陣力學

1921 年，Max Born（1882–1970）成為哥廷根大學的物理學教授。他在 1924 年有關量子力學的論文中，將古典力學中的某些微分算符改以其他算符取代。

1925 年春天，Born 的研究助理之一，是當時年僅 24 歲的 Werner Heisenberg（維爾納・海森堡，1901–1976）。他在兩年前取得博士學位。

和其他一些後來成就卓著的人一樣，Heisenberg 當初幾乎拿不到博士學位，因為他忽略了實驗室工作，而且對實驗物理教授 Wilhelm Wien（威廉・維恩，1864–1928）所提出的問題幾乎一題也回答不出來。

Wien 原本想讓他不及格，但在 Sommerfeld 的勸說下，最後只在他的口試成績中給了他第三等（third-class standing）。

Laidler 接著很壞地補了一句：

「值得一提而且頗為有趣的是，當時讓 Heisenberg 吃足苦頭的題目之一，就是顯微鏡的解析能力（resolving power）；然而到了 1927 年，他提出不確定性原理時，這件事他仍然弄錯了」

1925 年春天，Heisenberg 患了一場非常嚴重的花粉熱（hay fever），以至於不得不離開一段時間，前往 Heligoland（黑爾戈蘭島）休養。那是一座岩石島嶼，島上幾乎沒有植被。

他在那裡發展出 Born 理論的一種修改形式。在這套方法中，物理量以隨時間變化的複數表示，並且遵守一種不具交換律的乘法（non-commutative multiplication rule），也就是

1925 年 7 月，Heisenberg 將論文寄給 Born；Born 很快就理解了這篇工作的重大意義，並以 Heisenberg 一人的名義將論文投稿到 Zeitschrift für Physik，該文於同年稍晚發表。

Born 起初並沒有立刻看出 Heisenberg 那些複數所代表的真正意義，但經過「八天集中思考與反覆檢驗」之後，他意識到：這些數其實具有矩陣（matrices）的性質。

在那個年代，有些數學家已經知道矩陣，但物理學家很少使用它們。Born 大約在二十年前還是學生時曾學過矩陣，如今才重新回想起來。

Heisenberg 後來承認，當時他根本不知道矩陣是什麼；在建立量子力學的過程中，他其實是在完全不知道自己正在這麼做的情況下，重新發明了矩陣力學。

Born 隨後進一步以矩陣形式發展 Heisenberg 的方法，其中一部分工作是與 Ernst Pascual Jordan（1902–1980）合作完成的。

這段合作的形成過程也頗為有趣。

1925 年夏天，Born 從 Göttingen 搭火車前往 Hannover，途中向一名同行者談起自己在矩陣力學方面遇到的困難。Jordan 當時還是 Göttingen 的學生，他無意間聽到了這段對話，便告訴 Born，自己曾在數學家 Richard Courant 的指導下專門研究過矩陣。

Jordan 隨即主動提出協助 Born，而這次偶然的相遇，最終促成了數篇重要的量子力學論文。其中第一篇就是 Born 與 Jordan 共同將 Heisenberg 的方法重新以矩陣力學的語言表述。

Heisenberg 在矩陣力學之後不久所作出的另一項貢獻，也被證明具有極為重大的重要性。

這就是他的不確定性原理（uncertainty principle），又稱 principle of indeterminacy（不確定原理／不決定性原理），可以寫成


其中，q是粒子的位置，p是粒子的動量。這條式子表示：這兩個物理量在測量上的不確定度乘積，大約等於 Planck 常數 h 除以 4π。

Heisenberg 是藉由一個思想實驗（Gedanken experiment）得出這項原理的。在這個思想實驗中，使用一束光來測定電子的位置與動量。

然而，由於光束本身會擾動電子，因此測量的精確度存在一定的極限。

這個論證牽涉到顯微鏡的解析能力，而 Heisenberg 在這部分的處理是錯誤的；Born 必須替他把這件事情理清楚。

(這也就是前面 Laidler 故意埋的梗：Heisenberg 博士口試時就栽在「顯微鏡解析力」，幾年後用顯微鏡解釋不確定性原理時，居然又在同一個地方出問題XD)

Heisenberg 因他的量子力學工作獲得了 1932 年諾貝爾物理學獎；但實際上該獎是在 1933 年才頒發，而就在那一年，Dirac 與 Schrödinger 共同獲得另一個諾貝爾獎。

Heisenberg 一直對 Born 沒有分享他的諾貝爾獎這件事情感到遺憾。假如該獎由 Born 與 Heisenberg 共同獲得，其實會更加合適。

畢竟，不只是 Born 最先提出「量子力學」這個概念；也是他指出了 Heisenberg 那些晦澀數學方法的真正意義，並將它們與矩陣力學聯繫起來。

如果 Born 是個沒那麼慷慨的人，他大可以延後投稿 Heisenberg 的論文，等到自己準備好一篇具有更廣泛意義的共同論文之後再發表。

Born 後來直到 1954 年才獲得諾貝爾獎，表彰的是他在碰撞過程的量子力學方面的研究。

Heisenberg 在德國具有相當廣泛的聲望。他留在德國，並在第二次世界大戰期間主持德國的原子能計畫，但該計畫最終並未成功。

他絕不是納粹政策的支持者，因此也遭到 Stark 與 Lenard 的猛烈攻擊；這兩人在當時勢力很大，而且是狂熱的納粹分子。

Born 則不得不離開德國，1936 年成為愛丁堡大學教授，並一直留在那裡，直到 1954 年退休後返回德國。

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補充:

1923 年，21 歲的海森堡在慕尼黑大學做博士論文。他的論文題目其實很硬，是流體由層流轉變為紊流的穩定性問題；Sommerfeld 對他的數學能力和物理洞察評價非常高，論文本身也通過了

但到了博士口試，事情就炸掉了。海森堡理論物理答得很好，碰到 Wilhelm Wien 考的實驗物理卻表現很差。他答不出 Fabry–Pérot 干涉儀的解析力，也不會推導望遠鏡、顯微鏡的解析力；Wien 再問蓄電池怎麼工作，他也答不上來。Wien 本來甚至想讓他不及格，最後 Sommerfeld 與 Wien 妥協，海森堡的物理與博士總成績得到 III，大致相當於 C。

海森堡本人當年對那個博士成績非常難受，口試後當晚就離開慕尼黑，隔天跑去 Göttingen 問 Born：「你還願意要我嗎？」Born 後來還是留下了他。

然後勁爆的事情來了。

到了 1927 年，海森堡提出不確定性原理時，用了一個著名的思想實驗：用高能光照射電子，再用顯微鏡觀察電子的位置，也就是後來常說的 γ-ray microscope。這個論證本身就必須用到顯微鏡的解析能力。

結果——

他在顯微鏡解析力的處理上又出問題了。

所以 Laidler 才在這篇文挖苦說：「值得一提而且頗為有趣的是，當時讓 Heisenberg 吃足苦頭的題目之一，就是顯微鏡的解析能力（resolving power）；然而到了 1927 年，他提出不確定性原理時，這件事他仍然弄錯了」

還是Heisenberg 的恩師Born幫忙他把這件事情理順////。


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波茲曼對薛丁格的影響

物理化學(Physical Chemistry)


《 Schrödinger: Centenary Celebration of a Polymath》Edited by C. W. Kilmister

薛丁格誕生一百年之後，他對二十世紀幾乎所有科學領域所造成的影響，至今仍然可以感受到。

他是一位幾乎憑一己之力，重新塑造了下列領域當代思想的人：

  • 宇宙學（cosmology）
  • 波動力學（wave mechanics）
  • 統計力學（statistical mechanics）
  • 統一場論（unified field theories）
  • 理論化學（theoretical chemistry）
  • 分子生物學（molecular biology）

本書為紀念薛丁格誕辰一百週年，於 1987 年編成。在上述各個領域中具有代表性的學者共同參與，完成了這部經過仔細整合與編輯的文集，全面回顧這位人物及其科學工作。

其中有些文章具有傳記性質，揭示了許多關於薛丁格本人性格與人格特質的內容；另一些文章則討論薛丁格曾經投入研究的不同科學領域中的現代理論，以及他在這些領域所留下的影響。

「「這些論文顯示，即使薛丁格已經去世，他彷彿仍從墓中向我們伸出手來，以一個又一個難題挑戰我們的心智。」──P. W. Atkins，Nature 

在此貼出紀念文集第二篇，由波茲曼的外孫Dieter Flamm (維也納工業大學Technische Universität Wien )所寫的Boltzmann’s Influence on Schrödinger(波茲曼對薛丁格的影響)的中譯。

波茲曼對薛丁格的影響

導論

 我有幸以波茲曼外孫的身分撰寫這篇文章，但由於我並不是一位科學史家，因此首先要為此致歉。波茲曼對薛丁格影響的一個明顯表現，就是薛丁格曾熱情地引用波茲曼的思想路線：

「他的思想路線可以說是我在科學上的初戀。再沒有其他思想曾像這樣令我如此著迷，而且今後也不會再有了。」（Schrödinger, 1929；重刊於 Schrödinger, 1957, p. XII。）

雖然薛丁格本人從未與波茲曼有過私人接觸，但他在維也納大學所接受的科學教育，卻屬於波茲曼的學術傳統。

他的博士論文指導教授、同時也是維也納大學第二實驗物理研究所所長的 Franz Serafin Exner，是一位熱烈崇拜波茲曼的人；而接替波茲曼出任理論物理講座教授的 Friedrich Hasenöhrl 也是如此。

1933 年薛丁格獲得諾貝爾獎時，他對老師 Hasenöhrl 表達了最令人印象深刻的敬意。他明確表示，如果 Hasenöhrl 沒有在第一次世界大戰中陣亡，那麼站在自己這個位置上的，很可能會是 Hasenöhrl。（Schrödinger, 1935, p. 87。）

後來，薛丁格的一個主要研究領域，就是把波茲曼的統計方法——他稱之為 「自然統計」（natural statistics）——應用到各種問題上。

因此，他在這個領域中的論文 〈論愛因斯坦的氣體理論〉（On Einstein’s Gas Theory） 觸發了波動力學的構想，並不是一件偶然的事。（Schrödinger, 1926, 1984。）

正如薛丁格自己所說，他形成了一幅關於氣體的圖像，這幅圖像與黑體輻射的圖像相對應；而他是把 de Broglie（1924, 1925）與 Einstein（1923, 1924）關於運動粒子的波動理論直接應用到氣體上的。

稍後我還會回到波動力學的起源。目前先讓我概述一下，我打算如何呈現波茲曼對薛丁格的影響。

首先，我將較詳細地考察薛丁格所接受的學術訓練，並強調 Hasenöhrl 的講課與研討課所具有的重要性。

我也會簡要談到薛丁格在 Exner 研究所工作的那些年。接著，我將討論薛丁格論文中的一些文字。把波茲曼與薛丁格關於生命及其演化的觀點拿來比較，也會是一件很有價值的事。

最後，我將簡要比較兩人的哲學著作，並提到 Karl Popper 爵士在他的《無盡的探索：一部思想自傳》（Unended Quest: An Intellectual Autobiography；Popper, 1974）一書中，對他與薛丁格之間討論的記述。

在維也納大學

1906 年秋天，也就是波茲曼悲劇性死亡後不久，Erwin Schrödinger 進入維也納大學就讀。在大學第一年，薛丁格大概沒有修習理論物理課程。然而到了 1907 年秋季，波茲曼的學生兼繼任者 Fritz Hasenöhrl 發表了他的就職演說。

薛丁格在自傳中寫道，Hasenöhrl 以清楚而充滿熱情的語言，說明了波茲曼畢生工作的基本思想。這樣的描述在薛丁格心中留下了極深的思想印象；從那時起，他的思考再也沒有離開這條道路。

即使在普朗克與愛因斯坦經出現之後，在薛丁格看來，似乎仍然沒有任何事情比波茲曼的思想發現——Erkenntnis——更加重要。（Schrödinger, 1985, p. 15。）

在 1933 年提交給諾貝爾委員會的一篇自傳性簡述中，他談到自己所修習的理論物理課程：

「在我於維也納大學就讀的四年間（1906–10），對我影響最大的是年輕的 Fritz Hasenöhrl；他當時才剛接替那位不幸的 Boltzmann 所留下的講座教授席位。在一個延續八個學期、每週五小時的課程循環中，高等力學理論，以及連續介質物理中的本徵值問題，都得到了詳細的講授——其詳細程度，恰好就是日後這些內容對我變得必要時所需要的程度。」（Schrödinger, 1935, p. 86。）

薛丁格特別提到了那些他後來應用於波動力學中的理論物理主題。其中當然包括 Hamilton 的最小作用量原理；這也是波茲曼最喜愛的主題之一。然而 Hasenöhrl 還教授薛丁格其他內容，尤其是波茲曼的理論。

薛丁格最後一個大學學年留下了六本筆記，這些筆記以 Gabelsberger 速記法寫成，而標題與姓名則用一般字體書寫。

其中五本記錄了 Hasenöhrl 在 1909/10 冬季學期所講授的熱理論，內容涉及：

  • 氣體動力論；
  • 統計力學；
  • 熱力學；
  • 以及習題討論課——當時稱為 Proseminar，今天仍沿用這個名稱。

其中第五本筆記尤其記載了統計方法在黑體輻射理論中的應用。

第六本筆記則記錄了 Hasenöhrl 在 1910 年夏季學期所講授的光學。

此外，還有兩本較薄的筆記，內容來自 Hasenöhrl 在 1910/11 冬季學期所開設的一門氣體理論研討課。

薛丁格的博士論文指導教授是 Franz Serafin Exner。Exner 比波茲曼小五歲；當波茲曼在維也納大學開始被承認為大學講師時，Exner 正好進入維也納大學就讀。

他的教授包括：

  • Josef Stefan
  • Josef Loschmidt
  • Victor Lang

因此，Exner 幾乎注定會成為原子論的支持者。

從 1881 年起，他便擔任維也納大學教授；1891 年，他成為正式教授並接替 Loschmidt。

當薛丁格撰寫他的博士論文：

〈潮濕空氣中絕緣體表面的電導率〉

（On the electric conductivity on the surface of insulators in humid air）

時，Exner 是維也納最重要的實驗物理學教授，在他的周圍已經形成一整個由合作者和昔日學生構成的圈子。

這個圈子會定期聚會，討論從科學到藝術的各種題目。（Karlik and Schmid, 1982。）

Exner 也促進了波茲曼思想遺產的傳承。

這項思想遺產的核心命題是：

熱力學第二定律之所以在巨觀物理中具有普遍性，是原子真實存在的結果。

（Scott, 1967。）

Exner 甚至把波茲曼的統計推理又向前推進一步。他開始質疑微觀尺度上的因果性概念，並提出：

所有物理定律可能都具有統計性的起源。

他把這些思想發表在一本教科書中（Exner, 1919）；薛丁格後來在 1922 年於蘇黎世所發表的就職演講中，也引用了這本書。（Schrödinger, 1962。）

薛丁格（1887–1961）並不只是從教授那裡聽說波茲曼。

他的年長同事中，也有人曾親耳聽過波茲曼講課，甚至接受過波茲曼主持的考試。例如我的父親 Ludwig Flamm（1885–1964），以及 K. W. F. Kohlrausch（1884–1953）。

正如薛丁格自己所寫的，由於機緣巧合，他在 1911 年獲得的是 Exner 研究所的職位，而不是 Hasenöhrl 那裡的職位。（Schrödinger, 1985, p. 19。）

在第一次世界大戰之前的那些年裡，他也親眼目睹了波茲曼學派與 Mach 追隨者之間的認識論鬥爭。

馬赫是一名實證主義者。按照他的看法，科學的目標就是以最經濟的方式整理實驗事實。

他主張純粹的現象論理論，並拒絕：

  • 原子論；
  • 波茲曼對熱力學第二定律的統計解釋。

另一方面，Boltzmann 是一位實在論者，同時也是原子論，以及利用統計力學統一力學與熱力學思想的熱烈倡導者。

總的來說，1911 年薛丁格在維也納開始其科學生涯時，維也納可說是波茲曼追隨者的一個重要堡壘。

在維也納的鐳研究所中，透過對放射性與漲落的研究，人們已經蒐集到了支持物質原子結構的實驗證據。

然而 馬赫的聲望依然非常崇高。其中一項證據就是，他曾先後在 1910 與 1911 年被：E. Suess

F. Braun、H. A. Lorentz、W. Ostwald提名諾貝爾物理學獎。（Blackmore and Hentschel, 1985, pp. 73, 88, 95, 129。）

馬赫在不同地方的追隨者包括：維也納的 F. Adler（1879–1960）、維也納的 F. Ehrenhaft（1879–1952）、後來在布拉格接替 Einstein 的 P. Frank（1884–1966）、布拉格的 A. Lampa（1868–1938）、柏林的 J. Petzoldt（1862–1929），

波茲曼與 馬赫之間鬥爭的延續，是從普朗克 在 1909 年發表的一篇文章開始的，其題目為：

〈物理世界圖像的統一〉

The Unity of the Physical World Picture

普朗克批評馬赫所宣稱的：科學的首要目的乃是「思想經濟」。

他同時也批評馬赫對原子論，以及對熱力學第二定律統計解釋的排斥。

在 普朗克看來，馬赫的哲學是實現物理學統一的一項障礙，尤其妨礙了力學與熱力學之間的統一。

有趣的是，在 1885 至 1889 年之間，Planck 本人其實也曾是一位「Machist」(馬赫主義者)。

馬赫 甚至在 1888 年出版的力學著作第二版序言中，把 普朗克與G. Helm、L. Lange、J. Popper-Lynkeus並列提及。

直到 1900 年，當普朗克為了在理論上推導他的輻射定律，不得不採用波茲曼的統計方法之後，他才成為波茲曼的追隨者。（Planck, 1949。）

馬赫對 普朗克 的第一次回應，於 1909 年發表在他關於功的守恆之著作第二版的序言中（Mach, 1909。）

作為回應，普朗克又寫了第二篇文章：

〈我的科學認識之指導原則：一篇答覆〉

The Guidelines of my Scientific Knowledge: a Reply

（Planck, 1910b,c。）

在與普朗克的論戰中，馬赫還得到了愛因斯坦兩封信的支持。（Blackmore and Hentschel, 1985, pp. 109, 121。）

Lampa 的一封信則顯示，馬赫與他的追隨者曾推測：

相對論可能構成物理學中一個「現象論時代」的序幕。

（Blackmore and Hentschel, 1985, p. 80。）

1912 年，馬赫 的追隨者成立了一個協會，並創辦了一份宣揚實證主義哲學的期刊。

後來，薛丁格本人則站出來捍衛 波茲曼與 普朗克的立場，反對這些實證主義者。

這裡也應當提到 馬利安·斯莫魯霍夫斯基(Marian von Smoluchowski)。他在 1890 至 1894 年間就讀於維也納大學，並把自己視為波茲曼的學生。

1906 至 1917 年間，他建立了：

  • Brownian motion（布朗運動）
  • fluctuations（漲落）

的理論。

這些現象是原子真實存在所造成的巨觀後果；它們無法從純粹現象論理論中推導出來，卻自然地由波茲曼的統計理論所導出。

斯莫魯霍夫斯基的工作對薛丁格產生了很大的影響。

事實上，薛丁格自己對布朗運動與漲落的研究，與 斯莫魯霍夫斯基 的論文有著非常密切的關係。

尤其是在兩本手寫筆記中，薛丁格對 斯莫魯霍夫斯基最後幾篇論文作了非常詳細的討論。

這份筆記後來被轉錄成約 27 頁印刷文字，並收錄在 Harle 的博士論文附錄中。（Harle, 1979, pp. 265–91。）

薛丁格論文中的一些線索

波茲曼的研究，是薛丁格許多論文的出發點。

我在這裡只能選其中少數幾個例子。

例如薛丁格的第二篇論文：

〈論磁性的動力學理論（傳導電子的影響）〉
On the Kinetic Theory of Magnetism (Influence of the Conduction Electrons)
（Schrödinger, 1984, p. 13）

就是從：
  • Langevin 的磁性動力學理論；
  • Lorentz 的金屬電子氣體模型
出發。

為了證明磁靜態場不會改變金屬中自由電子的速度分布，薛丁格使用了波茲曼對「在任意外力存在下，兩種氣體混合物之速度分布」的處理方法。

薛丁格的第八篇論文：

〈論彈性耦合點系統的動力學〉
On the Dynamics of Elastically Coupled Point-Systems
（Schrödinger, 1984, p. 124）

與波茲曼的關係更加密切。

它與 波茲曼1897 年的論文，以及 波茲曼的文章：

〈論原子論在自然科學中的不可或缺性〉
On the Indispensability of Atomism in Natural Science
（Boltzmann, 1905, p. 141；McGuinness, 1974）

有著密切關聯。

這些研究討論的是：

物質的原子結構，與以微分方程表示的現象學連續介質理論之間的關係。

馬赫與能量學派（energeticists）採取的態度是：

現象學理論已經使原子論變得過時。

他們甚至把原子論稱為一個應當從科學中排除的形上學概念。

波茲曼強烈反對這種態度。

然而，要真正證明原子論是不可或缺的，波茲曼不只必須說明：

現象學理論可以從原子論推導出來；

還必須進一步證明：

原子論本身能給出一些現象學理論無法解釋的結果。

循著波茲曼的思路，薛丁格寫道：

「我們有必要尋找並預測這樣的條件：由於物質真正具有原子結構，以微分方程為基礎的連續體概念，在這些條件下將導致可由觀察發現的不正確結果。」Schrödinger, 1984, p. 125。）

薛丁格所研究的兩個量分別是：
  1. 固體比熱的計算
  2. X 射線干涉中的溫度效應
他研究了一個一維系統，考察：
  • 由差分方程描述的振動鏈；
  • 與由一維波動方程描述的振動弦；
兩者之間的關係。

他把差分方程寫成：

這就是圓柱函數函數的一個著名遞迴關係，其參數為vt

 藉由這個關係，他能把這些方程的一般解寫成第一類 Bessel 函數的無窮和：

在接下來的討論中，他說明了：

原子結構的存在如何導致能量透過振動介質進行傳播，而且其速度與聲速相比相當緩慢。

在第二篇論文 〈彈性耦合點列的動力學〉 中，他又進一步給出了這種解法的其他應用。
（Schrödinger, 1984, p. 143。）

在 1914 至 1926 年之間，薛丁格撰寫了八篇與固體及氣體比熱有關的論文。

其中兩篇是綜述文章。

Harle（1979）的博士論文對薛丁格在 1912 至 1925 年之間的統計力學研究作了詳盡討論。

這裡我只提一點：

薛丁格在文章：

〈關於理想氣體熵之統計定義的評論〉

Remarks on the Statistical Definition of Entropy for Ideal Gas
（Schrödinger, 1925；1984, p. 341）

中，詳細討論了由波茲曼均分定理所得的「每個自由度平均能量」。

在這篇論文裡，薛丁格比較了各種不同的熵定義，並討論普朗克所提出的方法：

把經典熵的結果除以所有分子排列方式的數目。

薛丁格也曾與 愛因斯坦通信，討論究竟應該：

  • 把整個氣體的能量量子化；
  • 還是考慮每一個單獨分子的動能。

兩人的通信最終導向了薛丁格的論文：

〈理想單原子氣體模型的能階〉

The Energy Levels of the Ideal One-Atomic Gas-Model

（Schrödinger, 1984, p. 143。）

現在讓我們來談波動力學的根源。

1926 年 4 月，薛丁格寫信給愛因斯坦（Przibram, 1963），表示：

如果愛因斯坦在他討論氣體簡併的第二篇論文中，沒有使自己注意到  德布羅伊思想的重要性，那麼自己也許根本不會發現波動力學。

愛因斯坦的那篇論文以及 德布羅伊的相關工作見：

  • Einstein, 1923
  • de Broglie, 1924, 1925

薛丁格之所以會研究愛因斯坦的氣體理論，是因為他希望解釋一種新的統計法：

  • 波色原先為輻射量子提出了這種統計；
  • 愛因斯坦又把它應用於理想氣體中的原子。

薛丁格希望使用波茲曼所謂的「自然」統計方法來理解它。

在他的〈論愛因斯坦氣體理論〉（Schrödinger, 1926）中，他寫道：

「從自然統計過渡到 波色統計，總是可以藉由交換兩個部分來取代：能量狀態的流形，以及承載這些狀態之載體的流形，互換它們所扮演的角色……」

這就意味著：

必須真正嚴肅對待德布羅伊與 愛因斯坦關於運動粒子的波動理論。

因此，波茲曼的思想遺產給了薛丁格研究波動力學的直接推動力。

這一點尤其值得注意，因為普朗克當年也正是受到 波茲曼 的推動，才把統計力學的方法應用到黑體輻射理論，並由此導向普朗克的量子化假說。

波茲曼 早在 1897 年就寫道：

「從某個一般原理推導出輻射過程，肯定是可能而且值得進行的；這個原理應當與氣體理論中的熵原理相當。我會很高興看到 普朗克對小型共振器散射電磁波所作的考慮，能夠在這個方向上派上用場。」（Boltzmann, 1897。）

此外，薛丁格的著作：

《統計熱力學》（Statistical Thermodynamics）
（Schrödinger, 1946）

其中以擴充形式呈現了許多他在〈論愛因斯坦氣體理論〉中所作的討論，因此可以稱為：

波茲曼方法的一種現代延伸。

薛丁格也與朋友 K. W. F. Kohlrausch 合作發表論文：

〈H 曲線的 Ehrenfest 模型〉

The Ehrenfest Model of the H-Curve

為了這篇研究，兩位作者實際進行了 Ehrenfest 的甕模型實驗（urn experiment），詳細研究 波茲曼的 H函數如何接近平衡。

在文章：

〈自然界中的統計定律〉

The Statistical Law in Nature

（Schrödinger, 1944；1984, p. 451）

中，薛丁格在 波茲曼 誕生一百週年之際向他致敬。

波茲曼的 (H)-定理中，一個核心問題是：

能否從一個可逆模型出發，而得到不可逆行為？

薛丁格後來在：

〈不可逆性〉（Irreversibility）

（Schrödinger, 1950；1984, p. 485）

中討論了這個問題。

他這樣描述自己的目的：

「我希望重新表述現象學不可逆性的定律……使得從可逆模型推導這些定律時似乎會涉及的邏輯矛盾，被一次而永久地消除。」

著作與哲學論文

薛丁格 與 波茲曼 都是 達爾文的崇拜者。

1886 年，波茲曼在談到十九世紀時寫道：

「如果你問我，在我內心最深處，我認為這個世紀有一天會被稱為鐵的世紀、蒸汽的世紀，還是電的世紀，我會毫不猶豫地回答：它將被稱為自然的機械論世界觀之世紀，也就是 Darwin 的世紀。」

（Boltzmann, 1905, p. 28；McGuinness, 1974, p. 15。）

在論文 〈科學的精神〉（The Spirit of Science） 中，薛丁格（1956）把：
  • 達爾文主義
  • 波茲曼 所發展的熱之統計力學理論
列為十九世紀自然科學的兩大主導思想。

波茲曼在 1884 年計算了輻射熵對溫度的依賴性。

他寫道：

「太陽能在降到地球溫度以前所採取的那些中間形式，可以是相當不可能的，因此我們很容易利用熱從太陽向地球的轉移來作功……因此，有生命存在者的一般生存競爭，並不是對原料的競爭……也不是對能量的競爭——因為能量以熱的形式大量存在於任何物體中——而是一場對熵的競爭。」

（Boltzmann, 1905, p. 40；McGuinness, 1974, p. 24。）

在薛丁格 的《生命是什麼？》（What is Life?）中，也有一句非常相似的話：

「生物體所攝取的是負熵。或者，若用不那麼悖論式的方式來說，代謝中最重要的事情，是生物體能夠使自身擺脫它在活著時不可避免會產生的全部熵。」
（Schrödinger, 1948, p. 72。）

在《生命是什麼？》第六章的一則註腳中，他後來又解釋，自己為什麼沒有使用自由能這個概念：

「自由能與波茲曼的秩序—無序原理之間的關係，比熵以及『取負號的熵』更不容易追索；順帶一提，後者並不是我的本意。事實上，這恰恰就是波茲曼原始論證所圍繞的東西。」
（Schrödinger, 1948, p. 86。）

當然，在撰寫《生命是什麼？》時，薛丁格所能利用的科學證據，比大約六十年前的波茲曼豐富得多。

尤其是他已經擁有了量子力學。

但兩人之所以都會撰寫關於生命的文章，其動機都來自科學的普遍性——正如薛丁格在自己那本書的序言中略帶歉意地解釋的那樣。

在 薛丁格所收藏的 波茲曼《通俗論文集》（Populäre Schriften；Boltzmann, 1905）中，薛丁格 特別標記了四篇文章：
  1. 〈論原子論的不可或缺性〉
  2. 〈再論原子論〉
  3. 〈論近代理論物理方法的發展〉
  4. 〈論統計力學〉
除此之外，在文章：

〈論無生命自然界中過程的客觀存在問題〉

中，也可以看到薛丁格所畫的底線以及一個問號。

在這篇文章中，波茲曼討論了：
  • 唯心論；
  • 實在論；
  • 科學世界圖景。
尤其是，他提出一個思想：

我們應該想像一部機器，使我們從心理過程中所經驗到的一切，都能在其中實現。

接下來的一句話被 薛丁格畫了底線：

「其餘的東西都是我們在思想中任意加上去的——至少在我看來是如此。」

然而，薛丁格似乎並不願意一路跟隨 波茲曼的實在論到底。

因為他在下面這句話旁邊加了一個問號：

「無生命自然界中的過程，在性質上與有生命的過程差異如此之小，以至於根本不可能劃出任何界線。」

（Boltzmann, 1905, pp. 184–185；McGuinness, 1974, p. 23。）

Karl Popper 在他的《無盡的探索》（Unended Quest）中，記述了薛丁格 的討論。

他寫道，自己非常驚訝地發現：

儘管 薛丁格對波茲曼懷有極大的崇敬，他本人竟然是一位唯心論者。

而 波茲曼對唯心論一向非常批判。

（Popper, 1974, 1984, p. 195。）

薛丁格在《通俗論文集》中還畫過另一句話的底線：

「這就是因果律；因此，我們既可以把它稱為一切經驗的前提，也可以把它本身看成一種經驗——一種我們與其他一切經驗共同獲得的經驗。」

（Boltzmann, 1905, p. 163；McGuinness, 1974, p. 75。）

在薛丁格 1922 年於蘇黎世發表的就職演說中，也可以找到相應的文字：

「這項假設有時被稱為因果原理。隨著我們不斷逐步發現那些特別制約每一事件的原因，我們對這項原理的信念也一再得到確認。」

（Schrödinger, 1957, 1962, p. 10。）

然而到了 1930 年，在接受量子力學的統計詮釋之後，他已經更加謹慎地說：

「目前看來，甚至只是要求一幅至少在原則上仍然具有決定論性質的圖像，似乎都已經要求得太多。」

（Schrödinger, 1962, p. 24。）

Schrödinger 在 1947 年發表的文章：

〈自然科學世界圖景的特殊性〉
The Peculiarity of the World-Picture of Natural Science

顯示出他對波茲曼思想路線的認同。

在其中，他攻擊 馬赫的極端觀點以及實證主義。

同樣秉持波茲曼的精神，他在文章標題式的句子中說：

「圖像不僅是一種被允許的［描述］輔助手段，它本身也是［科學］的一個目的。」

不可逆性是另一個 薛丁格 遵循 波茲曼推理的問題。

波茲曼在對 Zermelo 的第二篇答覆中提出了一個帶有推測性的構想：

時間的方向或許可以由熵增加的方向來定義。

對我們這個膨脹中的宇宙來說，按照這種說法情況的確如此，因為宇宙在膨脹時，它的熵也隨時間增加。

然而，對一個處於熱平衡的穩態宇宙來說，就不存在任何優先的時間方向。

生命只能存在於這種宇宙的某些局部區域中；這些區域對應於：

偏離平衡狀態的熱力學漲落。

波茲曼 把這些局部區域稱為 Einzelwelten——「個別世界」。

由於一個漲落包含：
  • 一條離開平衡、使局部熵變小或變大的分支；
  • 以及一條重新返回平衡的分支；
因此波茲曼推測：

可能存在某些 Einzelwelten，其中時間沿一個方向流動；而在另外一些 Einzelwelten 中，時間則沿相反方向流動。

薛丁格（1950）在他的論文〈不可逆性〉中，採用了 波茲曼的這個推測來定義時間箭頭，目的在避免以下兩者之間出現任何邏輯矛盾：
  • 基本粒子物理的時間反演不變定律；
  • 熱力學的不可逆性。
這種觀點受到 Popper 的猛烈批評。

他拒絕接受這種說法，認為它是對時間箭頭的一種主觀主義詮釋，而且會把熱力學第二定律化約成一個同義反覆（tautology）。（Popper, 1974, 1984, pp. 197, 230–236。）

在波茲曼逝世 75 週年時，M. Curd 曾詳細討論 Popper 的這項批評。（Curd, 1982。）

由於時間有限，我在這裡只作幾點評論。

波茲曼原先對 H定理的推導，是從描述氣體分子在相空間中分布的動力學方程式出發的。

這個方程本身並不具有時間反演不變性。

要得到這個方程，就必須假設：

氣體分子的速度彼此不相關。

這就是所謂的：

Stosszahlansatz

即通常所稱的分子混沌假設。

此外，還必須進行平均。

對數學物理而言，真正的挑戰就是：

實際從經典動力學推導出這個方程。

Lanford（1975）利用所謂的 Grad 極限（Grad limit），在這方面取得了相當大的成功。

Grad極限意味著：

在一個有限體積內，使分子的數目趨向無限，同時保持平均自由程為有限值。

因此，在這個極限之下，從一個原本具有時間反演不變性的系統出發，卻可以得到一個具有優先時間方向的描述。

有人也許會反駁說：

所有真正存在的物理系統都只包含有限數目的分子，因此不可逆性或許只是一種幻覺。

例如可參見 Flamm（1983）。

然而，我認為，Grad 極限在概念上的困難，其實與連續介質極限相似。

我們明明很清楚物質具有原子結構，卻仍然在連續體近似中取：

無限小的體積元素。

這樣的方法，在絕大多數巨觀物理問題中就是有效的。

致謝

作者感謝 R. Braunitzer 女士——Erwin Schrödinger 的女兒——熱心而主動地協助查閱 Schrödinger 位於 Alpbach（Tyrol）的私人藏書。

作者也感謝維也納中央物理圖書館館長 W. Kerber 博士所提供的協助，以及 A. Dick 博士所提出的寶貴意見。

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近年的數學物理進展，進一步推進了 Lanford 的結果。2026 年 Fields Medal 得主 鄧煜的重要成果之一，就是與 Zaher Hani、Xiao Ma 從稀薄硬球系統的微觀動力學嚴格推導 Boltzmann 方程，並將 Lanford 原本僅適用於短時間的結果推廣到長時間尺度。 這使「可逆的微觀力學如何在適當的多粒子極限下產生具有時間方向性的動力學描述」得到更深的數學基礎，也正延續了 Boltzmann、Schrödinger 所關心的微觀可逆性與巨觀不可逆性問題。國際數學聯盟（IMU）對其 Fields Medal 的正式評語中特別指出：
rigorous derivation of the Boltzmann equation from hard-sphere dynamics for rarefied gases

亦即這正是本文所說的數學物理核心問題。
在適當的多粒子極限與統計描述下，可逆的微觀力學可以嚴格地產生不可逆的有效動力學。


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