統計力學與神經物理學

《魔法科高校的劣等生》女主角司波深雪的魔法現出來的「控制分子運動」和「大規模溫度調控」這些現象，就是將統計力學的預測變成了「直接控制」。其實神經物理學也會用到「統計力學」。

神經系統是大量元件組成的複雜系統

• 一個人腦有約860億個神經元，每個神經元和上千個其他神經元連結，訊號傳遞存在大量的隨機性和變異性。
• 單獨看一個神經元的行為沒有辦法理解「意識」或「感知」這種巨觀現象，需要從「群體」角度來看，這正是統計力學的強項。

神經元發放訊號有隨機性

• 神經元釋放訊號（spiking）並非完全可預測，受熱噪聲、離子通道隨機開關等影響，很像統計力學中的「布朗運動」或「隨機行走」。
• 需要用機率分布和隨機過程來描述。

腦波與同步現象

• 很多神經元同時產生同步活動，這種「集體同步」現象與統計物理裡的「相變」、「臨界現象」類似。
• 例如Ising模型（磁性自旋模型）常用來模擬神經元的群體行為。

神經物理學現象	統計力學工具或模型	作用說明
神經元群體放電	隨機過程、泊松過程	描述神經元隨機發放脈衝
腦波同步	Ising模型、臨界現象	描述大量神經元集體進入同步或不同步狀態
記憶存取	Hopfield網絡（類似自旋玻璃）	以能量極小態對應不同記憶內容
感知/決策	貝氏統計、最大熵原理	模擬大腦如何從雜訊訊號中做出「最有可能」的判斷
腦區間資訊傳輸	熵、互信息（Information theory）	計算神經元間訊號傳遞效率和資訊量

Hopfield 網絡

用於描述神經網絡的記憶機制。

整個網絡能被理解為一個「能量函數」的極小值點（就像統計力學裡分子在低能狀態會穩定）。

臨界狀態與自組織臨界性（SOC）

觀察到腦活動有時呈現「臨界」狀態，這是統計力學中一種特殊現象，說明腦部可能自發維持在一種能夠靈活切換狀態的「邊界」。

資訊熵與神經編碼

計算腦部不同神經元群體所包含的「資訊量」，直接用到了熵（Entropy）這個統計力學核心概念。

又類似「聲子分佈」或「分子振動能階分佈」這種統計力學模型，

在神經物理學裡的確有「對應概念」與「類似用法」，用在腦神經的集體動態、振盪模式、能階分佈等現象的建模與分析。

（1）神經元集體振盪

• 神經元會同步產生集體振盪（腦波），例如α波、β波、γ波等，每種頻率對應不同的行為或意識狀態。

• 這種「腦波頻率分佈」其實就類似分子振動的頻譜分佈，每個腦波頻率就像一個「模式」。

• 有些理論會把腦區的振盪模式視為「正常模態」或「本徵頻率」，跟物理上的振動模態數學上是相同語言（傅立葉分析、模態分解等）。

（2）能量極小態與動態切換

• 在神經網絡模型（如Hopfield網絡）裡，整體神經系統可以有許多「穩定態」或「能量極小態」。

• 不同腦狀態、記憶等，可以類比成系統在不同能階分布的「佔據」。

• 這其實跟固體物理裡，分子/聲子分佈在各個能階有異曲同工之妙。

（3）集體現象的統計描述

• 用統計力學方法，比如分佈函數、布爾茲曼分布、最大熵原理等，來分析神經系統整體的行為。

• 例如「腦波功率譜密度」分析，就是看各頻率成分的分佈，直接用到和聲子頻譜很像的數學工具。

物理現象	神經物理學對應	解釋
聲子分佈/分子振動能階	腦波頻譜分佈（功率譜密度）	神經元集體振盪的頻率成分分佈
能階佔據分布	神經網絡穩定態/記憶存取	不同記憶或狀態對應能量極小態
模態振動	神經區域本徵頻率/同步模式	不同腦區有其特有振盪模式
熱雜訊	神經元隨機背景放電、雜訊	系統內部的隨機性（生理抖動/雜訊）

所以深雪的震動魔法與精神干涉，就是統計力學與神經物理學的交涉應用XD