Happy new year 2026:薛丁格方程式建立一百周年!!.jpg)
揮別量子力學誕生百年的2025年，迎接薛丁格方程式建立一百周年的2026年!
《Molecular Quantum Mechanics》（Atkins & Friedman)、《Quantum Theory of Materials 》（Kaxiras & Joannopoulos）、《Semiconductor Physics and Devices》（Neamen）這三本書作為薛丁格方程式建立一百周年之紀念，「從波函數到晶片：Molecule → Material → Device」
- Atkins & Friedman（分子）：方程式在「孤立系統」裡怎麼長出能階、波函數、近似法
- Kaxiras & Joannopoulos（材料）：把同一條方程丟進「週期晶格」→ 直接進化成 Bloch/能帶/態密度
- Neamen（元件）：能帶再加上摻雜、統計、接面 → 變成會工作的 PN / MOS / MOSFET
在 1925 年時，量子力學的主要學說理論已經大致完成了。薛丁格（Erwin Schrödinger）在 1926 年發表薛丁格方程式（Schrödinger equation），把量子力學數學化，用物質波微分方程表達闡釋量子力學。1928 年，瑞士科學家布洛赫（Felix Bloch）用薛丁格方程式解出電子在固態晶體內規則重複的晶格（lattice）中運行的答案，電子在晶體內的行為才得以被人類清晰的描述與理解，布洛赫的答案就名為布洛赫波（Bloch wave）。薛丁格方程式解出的布洛赫波，其電子能階變寬，形成能帶（energy band），而且出現禁止能帶（forbidden band），不允許電子存在於該禁止能帶，因此形成能隙（energy gap）。量子力學的能帶和能隙的概念是半導體物理的基礎，也是了解電晶體必備的基本知識。
有了量子力學的能帶和能隙的概念後，那晶體內眾多活躍的價電子又如何分佈在位能高低不同的能帶呢？要回答這問題就必需動用到量子統計力學。1926 年，費米（Fermi）和迪拉克（Dirac）分別發表著名的費米-迪拉克分佈統計原理（Fermi-Dirac distribution statistics），此原理後來被用來描述電子分佈在矽晶能帶的機率（相關闡述請見第三節）。根據費米-迪拉克分佈統計原理，電子分佈在矽晶能帶的機率和該能帶位能高低成指數關係增加；此指數型增加的關係，奠定電晶體開關分明，毫無混淆，成為 0 和 1 數位時代的根本源頭。
經由量子統計熱力學了解了電子如何分佈在位能高低不同的能帶後，那在各能帶的電子又是如何在晶體內移動，形成電流的導通與否呢？要回答這問題就必須回到古典熱力學和古典電動力學。電子在晶體內移動的法則是根據古典熱力學的擴散移動（diffusion）及古典電動力學的漂流移動（drift）。電晶體也是依照此電子和電洞移動的兩個原理來運作:把不同濃度的 N 型或 P 型雜質摻入矽晶，將矽晶劃分成濃度不同的 N 型或 P 型區域，而不同區域的相鄰接面（junction 或 interface）形成位能障礙（potential barrier）；再利用電壓調控位能障礙的高低，以控制操縱電子和電洞在矽晶不同區域的移動。其中，雜質濃度是電晶體的重要參數，其範圍是 10^15~10^20/cm^3。所以說，電晶體不過是一場在矽晶內玩弄不同的雜質濃度，造成不同的雜質濃度區域界面的位能障礙，再利用外加電壓調控界面位能障礙的高低，來控制電子和電洞移動的神奇遊戲罷了！
1926 的薛丁格方程，不只是一條方程，而是一路走到 2026 晶片文明的主幹。波函數 → 能階 → 能帶 → 載子統計 → 元件行為
